Questão 02) Um condutor cilíndrico de resistividade \rho, muito longo, de raio R, é submetido a um campo elétrico axial que varia radialmente de acordo com a equação
\vec{E}=\left(E_{0}+k r\right) \hat{i} \quad r \leqslant R,
sendo E_{0} e k constantes e \hat{i} o vetor unitário na direção do eixo de simetria do condutor. Determine: a) o vetor densidade de corrente, \vec{j}, em um ponto sobre o eixo de simetria e b) a corrente elétrica através do condutor. Considere \vec{j}=\sigma \vec{E}, sendo \sigma a condutividade elétrica do condutor.

Passo 1

O enunciado dá um condutor cilíndrico de raio R e resistividade \rho, submetido a um campo elétrico axial que depende de r segundo
\vec{E} = \bigl(E_{0} + k\,r\bigr)\,\hat{i},
onde \hat{i} é o vetor unitário ao longo do eixo do cilindro. Sabemos que a condutividade é \sigma = 1/\rho e que a densidade de corrente é
\vec{j} = \sigma\,\vec{E}.
Vamos usar isso para (a) achar \vec{j} no eixo ( r=0) e (b) calcular a corrente total atravessando uma seção transversal do cilindro.

Passo 2

Para r=0 (eixo de simetria) temos
\vec{E}(0) = \bigl(E_{0} + k\cdot 0\bigr)\,\hat{i} = E_{0}\,\hat{i}.
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\vec{j}(0) = \sigma\,\vec{E}(0) = \sigma\,E_{0}\,\hat{i} = \frac{E_{0}}{\rho}\,\hat{i}.

Passo 3

A corrente elétrica total I que atravessa o condutor é o fluxo de \vec{j} pela seção transversal (plano ortogonal a \hat{i}). Em coordenadas cilíndricas (raio r, ângulo \theta) temos
I \;=\;\iint_{\text{seção}} \vec{j}\cdot\hat{i}\;dA \;=\;\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{R} \sigma\bigl(E_{0}+k\,r\bigr)\;r\,dr\,d\theta.çã

Passo 4

Executando a integral em r e \theta:
I = \sigma\!\int_{0}^{2\pi}\!d\theta\;\int_{0}^{R}\bigl(E_{0}\,r + k\,r^{2}\bigr)\,dr =2\pi\,\sigma\!\Bigl[\frac{E_{0}\,R^{2}}{2} + \frac{k\,R^{3}}{3}\Bigr] =\pi\,\sigma\,E_{0}\,R^{2} + \frac{2\pi}{3}\,\sigma\,k\,R^{3}.
Substituindo \sigma=1/\rho:
I = \frac{\pi\,E_{0}\,R^{2}}{\rho} \;+\;\frac{2\pi\,k\,R^{3}}{3\,\rho} =\frac{\pi}{\rho}\Bigl(E_{0}\,R^{2} + \tfrac{2}{3}k\,R^{3}\Bigr).

Resposta

a) \vec{j}(0)=\frac{E_{0}}{\rho}\,\hat{i}.\nb) I=\frac{\pi}{\rho}\Bigl(E_{0}\,R^{2} + \tfrac{2}{3}\,k\,R^{3}\Bigr).

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