Questão 01) Um condutor cilíndrico, muito longo, de raio R, é percorrido por uma corrente estacionária. A magnitude do vetor densidade de corrente elétrica, j, varia radialmente com a distância ao eixo de simetria do condutor, r, de acordo com a equação j=b r, sendo b constante. Determine o campo magnético para r \leqslant R e r>R. Construa um gráfico da magnitude do campo magnético em função da distância ao centro do condutor.

Passo 1

O enunciado descreve um condutor cilíndrico muito longo de raio R percorrido por corrente estacionária cuja densidade de corrente varia radialmente como
j(r)=b\,r\quad(0\le r\le R),
onde b é constante. O objetivo é encontrar o campo magnético \vec B(r) para r\le R e r>R. Para isso vamos usar a lei de Ampère em sua forma integral,
\oint \vec B\cdot d\vec l \;=\;\mu_{0}\,I_{\mathrm{enc}},
aproveitando a simetria cilíndrica (o campo é tangencial e depende só de r).

Passo 2

Para r\le R calculamos a corrente envolvida pelo amperiano de raio r:
I_{\mathrm{enc}}(r) =\int_{0}^{r}j(r')\,2\pi r'\,dr' =\int_{0}^{r}b\,r'\,2\pi r'\,dr' =2\pi b\int_{0}^{r}r'^{2}dr' =\frac{2\pi b\,r^{3}}{3}.

Passo 3

Aplicando Ampère num círculo de raio r\le R, temos \oint \vec B\cdot d\vec l=B(r)\,2\pi r, logo
B(r)\,2\pi r =\mu_{0}\,\frac{2\pi b\,r^{3}}{3} \quad\Longrightarrow\quad B(r) =\frac{\mu_{0}b}{3}\,r^{2}.
O vetor campo é \vec B(r)=B(r)\,\hat\varphi.

Passo 4

Para r>R a corrente total do fio é
I_{\mathrm{tot}} =I_{\mathrm{enc}}(R) =\frac{2\pi b\,R^{3}}{3}.
Num amperiano de raio r>R,
B(r)\,2\pi r =\mu_{0}\,I_{\mathrm{tot}} =\mu_{0}\,\frac{2\pi b\,R^{3}}{3} \quad\Longrightarrow\quad B(r) =\frac{\mu_{0}b\,R^{3}}{3\,r},
com \vec B(r)=B(r)\,\hat\varphi.

Passo 5

O gráfico de B(r) versus r é contínuo em r=R. Para 0\le r\le R cresce como r^{2}, alcançando em r=R o valor
B(R)=\frac{\mu_{0}b\,R^{2}}{3},
e para r>R decai como 1/r. À esquerda, a curva é parabólica subindo do zero em r=0; à direita é uma hipérbole suave.

Resposta

Para r\le R:
\vec B(r) =\frac{\mu_{0}b}{3}\,r^{2}\,\hat\varphi.
Para r>R:
\vec B(r) =\frac{\mu_{0}b\,R^{3}}{3\,r}\,\hat\varphi.
O gráfico de \lvert B(r)\rvert sobe como r^{2} até r=R e decai como 1/r para r>R.

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