Uma massa pontual
desliza ao longo de uma haste lisa e horizontal puxada por um fio ideal de comprimento I. A extremidade
do fio se move com uma velocidade de intensidade constante v sempre dirigida ao longo do fio. Determine a tensâo no fio no momento em que este forma um ângulo
com a haste.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma massa pontual $ m $ que desliza ao longo de uma haste lisa e horizontal. Essa massa está ligada a um ponto $ P $ por um fio ideal de comprimento $ I $. A extremidade $ P $ do fio está se movendo com uma velocidade constante $ v $, sempre ao longo do fio. Nosso objetivo é determinar a tensão no fio quando ele forma um ângulo $ \theta $ com a haste. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de forças centrípetas e componentes das forças em movimento circular.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na massa $ m $. Há a tensão $ T $ no fio, que tem duas componentes: uma na direção da haste e outra perpendicular a ela. Como a haste é lisa, não há atrito, então a única força horizontal é a componente da tensão.
Passo 3
Como a massa está se movendo em um caminho circular devido ao movimento do ponto $ P $, precisamos considerar a força centrípeta que mantém a massa nessa trajetória. A força centrípeta é dada por:
onde $ r $ é o raio da trajetória circular.
Passo 4
Nesse caso, o raio $ r $ é a componente do fio perpendicular à haste, que pode ser exprimida em termos do ângulo $ \theta $:
Assim, a força centrípeta fica:
Passo 5
A componente da tensão responsável por fornecer a força centrípeta é:
Substituindo $ F_c $ na equação:
Passo 6
Para encontrar a tensão $ T $, isolamos essa variável:
Resposta
A tensão no fio quando ele forma um ângulo $ \theta $ com a haste é: