Uma massa m=1 é presa a uma mola com constante k=4 e não há freio amortecedor. A massa é solta do repouso com x(0)=3. No instante t=2 pi, a massa é atingida com um martelo, proporcionando um impulso de I=8. Determine o movimento da massa.

Passo 1

O sistema é um oscilador harmônico sem amortecimento com m=1 e k=4, portanto satisfaz
x''+4x=0
Até o instante t=2pi não há forças externas, depois desse instante há um impulso I=8 que altera a velocidade instantaneamente por De<a v=I/m=8. Vamos resolver em duas etapas: antes e depois do martelo.

Passo 2

Para 0<= t<2pi a solução geral da equação x''+4x=0 é
x1(t)=Acos(2t)+Bsin(2t)
As condições iniciais são x(0)=3 e x'(0)=0, de onde
x1(0)=A=3, x1'(t)=-2Asin(2t)+2Bcos(2t)implies x1'(0)=2B=0Rightarrow B=0
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x1(t)=3cos(2t), x1'(t)=-6sin(2t)

Passo 3

No instante imediatamente antes do martelo, t=2pi^-, temos
x1(2pi)=3cos(4pi)=3, x1'(2pi^-)= -6sin(4pi)=0

Passo 4

O impulso de magnitude I=8 em t=2pi provoca salto na velocidade:
x'(2pi^+)=x'(2pi^-)+Im=0+8=8,
e a posição permanece contínua: x(2pi^+)=3.

Passo 5

Para t>=2pi a equação é a mesma, com nova condição em t0=2pi. Escrevendo
x2(t)=Ccos(2t)+Dsin(2t),
impondo em t=2pi:
x2(2pi)=C=3, x2'(t)=-2Csin(2t)+2Dcos(2t)implies x2'(2pi)=2D=8Rightarrow D=4
Portanto
x2(t)=3cos(2t)+4sin(2t), t>=2pi

Resposta

Em forma de movimento completo,
x(t)= 3cos(2t),&0<= t<2pi, 3cos(2t)+4sin(2t),&t>=2pi

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