Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
y^prime prime+2 y^prime+y=de<a(t)+u2 pi(t), y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'' + 2y' + y = de<a(t) + u2pi(t),
com condições em t=0: y(0)=0 e y'(0)=1.
O conteúdo usado será a transformada de Laplace, incluindo:
– transformada de de<a(t) e de u(t-a);
– teorema do deslocamento no tempo;
– frações parciais para inverter transformadas racionais.

Passo 2

Aplicamos Laplace em ambos os lados, denotando Y(s)=Ly(t). Como há impulso em t=0, usamos as condições imediatamente antes do salto em y'. Pelo salto imposto por de<a(t) temos
y'(0^+) - y'(0^-) = 1,
e como dada y'(0^+)=1 resulta y'(0^-)=0. Também y(0^-)=0. Assim
Ly'' = s^2Y(s), Ly' = s,Y(s),
e
Lde<a(t)=1, Lu2pi(t) = e^-2pi ss

Passo 3

A transformada da EDO fica
s^2Y(s) + 2l(sY(s)r) + Y(s) = 1 + e^-2pi ss
Como s^2 + 2s +1 = (s+1)^2, obtemos
(s+1)^2,Y(s) = 1 + e^-2pi ss,
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Y(s) = 1(s+1)^2 ;+;e^-2pi ss,(s+1)^2

Passo 4

O primeiro termo inverte direto:
L^-1!l1(s+1)^2r = t,e^-t
No segundo termo aplicaremos o deslocamento. Definimos
F(s)=1s,(s+1)^2
e fazemos frações parciais:
1s,(s+1)^2 = As + Bs+1 + C(s+1)^2
Igualando numeradores:
1 = A(s+1)^2 + B,s(s+1) + C,s ;Longrightarrow; A=1,;B=-1,;C=-1
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F(s) = 1s - 1s+1 - 1(s+1)^2,
cuja inversa é
f(t) = 1 - e^-t - t,e^-t

Passo 5

Pelo teorema do deslocamento,
L^-1!le^-2pi ss,(s+1)^2r = u(t-2pi),fl(t-2pir)
Reunindo tudo,
y(t) = t,e^-t + u(t-2pi)l[,1 - e^-,(t-2pi) - (t-2pi),e^-,(t-2pi)r]

Resposta

boxed y(t) = t,e^-t ;+; u(t-2pi)l[,1 - e^-(t-2pi) - (t-2pi)e^-(t-2pi)r]

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