Resolva os sistemas por meio da transformada de Laplace:
ly^prime prime+z+y=t z^prime+y^prime=2 y(0)=y^prime(0)=0, z(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema dado por
y''(t) + z(t) + y(t) = t, z'(t) + y'(t) = 2,
com condições iniciais y(0)=y'(0)=0 e z(0)=-1. O conteúdo é transformada de Laplace de sistemas de EDO: vamos aplicar a transformada em cada equação, obter um sistema algébrico para Y(s)= Ly e Z(s)= Lz, resolver esse sistema e inverter a transformada para achar y(t) e z(t).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace na primeira equação, lembrando que Ly'' = s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0) e Lt = 1/s^2, obtemos
s^2Y(s) + Z(s) + Y(s) = 1s^2
ou seja
(s^2+1),Y(s) + Z(s) = 1s^2

Passo 3

Para a segunda equação usamos Lz'=sZ(s)-z(0), Ly'=sY(s)-y(0) e L2=2/s. Isso dá
sZ(s) - l(-1r) + sY(s) = 2s
isto é
sl(Y(s)+Z(s)r) + 1 = 2s,
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Y(s)+Z(s) = 2-ss^2

Passo 4

Temos o sistema linear
(s^2+1),Y + Z = tfrac1s^2, Y + Z = tfrac2-ss^2
Da segunda equação Z = tfrac2-ss^2-Y. Substituindo na primeira:
(s^2+1),Y + 2-ss^2 - Y = 1s^2 Longrightarrow s^2,Y = 1s^2 - 2-ss^2 = s-1s^2,
portanto
Y(s) = s-1s^4 = 1s^3 - 1s^4
Em seguida
Z(s) = 2-ss^2 - l(1s^3 - 1s^4r) = -1s + 2s^2 - 1s^3 + 1s^4

Passo 5

Agora invertendo termo a termo sabemos que L^-11/s^n=t^n-1/(n-1)!. Logo
y(t) = t^22 - t^36,
z(t) = -1 + 2t - t^22 + t^36

Resposta

y(t) = t^22 - t^36, z(t) = -1 + 2t - t^22 + t^36

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