Resolva os sistemas por meio da transformada de Laplace:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema dado por
y''(t) + z(t) + y(t) = t, z'(t) + y'(t) = 2,
com condições iniciais y(0)=y'(0)=0 e z(0)=-1. O conteúdo é transformada de Laplace de sistemas de EDO: vamos aplicar a transformada em cada equação, obter um sistema algébrico para Y(s)= Ly e Z(s)= Lz, resolver esse sistema e inverter a transformada para achar y(t) e z(t).
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace na primeira equação, lembrando que Ly'' = s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0) e Lt = 1/s^2, obtemos
s^2Y(s) + Z(s) + Y(s) = 1s^2
ou seja
(s^2+1),Y(s) + Z(s) = 1s^2
Passo 3
Para a segunda equação usamos Lz'=sZ(s)-z(0), Ly'=sY(s)-y(0) e L2=2/s. Isso dá
sZ(s) - l(-1r) + sY(s) = 2s
isto é
sl(Y(s)+Z(s)r) + 1 = 2s,
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Y(s)+Z(s) = 2-ss^2
Passo 4
Temos o sistema linear
(s^2+1),Y + Z = tfrac1s^2, Y + Z = tfrac2-ss^2
Da segunda equação Z = tfrac2-ss^2-Y. Substituindo na primeira: