Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra resolver um problema de valor inicial usando a transformada de Laplace. Temos uma equação diferencial do segundo grau:
y'' + 4y = t, & 0 <= t < 1, 1, & t >= 1,
com as condições iniciais y(0) = 0 e y'(0) = 1 .
Vamos precisar usar as propriedades das transformadas de Laplace, especialmente para funções definidas por partes, usando a função degrau de Heaviside.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função do lado direito usando a função de Heaviside u(t) , que serve pra modelar quando a função muda de comportamento.
A função dada é t para 0 <= t < 1 e vira 1 para t >= 1 . Então, podemos expressar isso assim:
f(t) = t cdot u(t) + [1 - t] cdot u(t - 1)
Isso significa que de 0 a 1, a função é t , e a partir de 1, é 1.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que: