Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
y^prime prime+4 y=lt, 0 <= t<1, y(0)=0, y^prime(0)=1 1, t >= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra resolver um problema de valor inicial usando a transformada de Laplace. Temos uma equação diferencial do segundo grau:
y'' + 4y = t, & 0 <= t < 1, 1, & t >= 1,
com as condições iniciais y(0) = 0 e y'(0) = 1 .
Vamos precisar usar as propriedades das transformadas de Laplace, especialmente para funções definidas por partes, usando a função degrau de Heaviside.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função do lado direito usando a função de Heaviside u(t) , que serve pra modelar quando a função muda de comportamento.
A função dada é t para 0 <= t < 1 e vira 1 para t >= 1 . Então, podemos expressar isso assim:
f(t) = t cdot u(t) + [1 - t] cdot u(t - 1)
Isso significa que de 0 a 1, a função é t , e a partir de 1, é 1.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
e
L4y = 4 Y(s)
Aplicando na equação:
s^2 Y(s) - s cdot 0 - 1 + 4 Y(s) = Lf(t)
Simplificando:
(s^2 + 4) Y(s) - 1 = Lt cdot u(t) + L[1 - t] cdot u(t - 1)

Passo 4

Vamos calcular as transformadas do lado direito. Sabemos que:
Lt = 1s^2
E para [1 - t] cdot u(t - 1) , usamos o deslocamento da transformada de Laplace:
Lf(t - a) cdot u(t - a) = e^-a s F(s)
Aqui, f(t) = 1 - t , então:
F(s) = L1 - Lt = 1s - 1s^2
Portanto:
L[1 - t] cdot u(t - 1) = e^-s ( 1s - 1s^2 )

Passo 5

Substituindo as transformadas na equação:
(s^2 + 4) Y(s) - 1 = 1s^2 + e^-s ( 1s - 1s^2 )
Agora, vamos isolar Y(s) :
Y(s) = 1s^2 + 4 [ 1 + 1s^2 + e^-s ( 1s - 1s^2 ) ]

Passo 6

Vamos separar os termos para facilitar a inversão da transformada:
Y(s) = 1s^2 + 4 + 1s^2(s^2 + 4) + e^-s ( 1s(s^2 + 4) - 1s^2(s^2 + 4) )
Agora, precisamos usar frações parciais para cada termo.

Passo 7

Calculando cada fração parcial:
  1. Para 1s^2 + 4 , sabemos que a transformada inversa é 12 sin(2t) .
  2. Para 1s^2(s^2 + 4) , podemos decompor em:
1s^2(s^2 + 4) = As + Bs^2 + Cs + Ds^2 + 4
Resolvendo, encontramos A = 14 , B = 0 , C = -14 , e D = 0 .
Portanto:
1s^2(s^2 + 4) = 14s - 14 cdot ss^2 + 4

Passo 8

Aplicando a transformada inversa:
  1. 14s se transforma em 14 .
  2. -14 cdot ss^2 + 4 se transforma em -14 cos(2t) .
Assim, a inversa de 1s^2(s^2 + 4) é:
14 - 14 cos(2t)

Passo 9

Agora, vamos tratar os termos com e^-s . Lembrando que:
L^-1e^-s F(s) = f(t - 1) cdot u(t - 1)
Aplicando isso nos termos:
  1. Para 1s(s^2 + 4) , a inversa é 1 - cos(2t)4 .
  2. Para 1s^2(s^2 + 4) , já vimos que é 14 - 14 cos(2t) .
Portanto:
e^-s ( 1s(s^2 + 4) - 1s^2(s^2 + 4) ) Rightarrow [ 1 - cos(2(t-1))4 - ( 14 - 14 cos(2(t-1)) ) ] u(t - 1)
Simplificando:
( 1 - cos(2(t-1))4 - 14 + 14 cos(2(t-1)) ) u(t - 1) = 04 u(t -1 ) = 0
Parece que os termos se cancelam!

Passo 10

Juntando tudo, temos:
y(t) = 12 sin(2t) + 14 - 14 cos(2t)
Para t < 1 . Como a parte com u(t -1) se cancelou, a solução permanece essa para todo t .

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 14 + 12 sin(2t) - 14 cos(2t)

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