Uma massa puntiforme
parte do repouso e desliza sobre a superfície de uma esfera, sem atrito, de raio
. Meça os ângulos a partir da vertical e a energia potencial a partir do topo. Ache: as acelerações radial e tangencial em função do ângulo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma massinha pontual de massa m parte do repouso do topo de uma esfera sem atrito, de raio r. A gente mede o ângulo θ a partir da vertical (θ = 0 no topo) e define a energia potencial como zero lá em cima, no topo.
Conteúdo: mecânica clássica – conservação de energia, movimento em coordenadas polares (radial e tangencial) e decomposição de forças.
O que vamos precisar:
Conteúdo: mecânica clássica – conservação de energia, movimento em coordenadas polares (radial e tangencial) e decomposição de forças.
O que vamos precisar:
- Conservação de energia para achar a velocidade v em função de θ.
- Fórmulas de aceleração em coordenadas polares (ar e a_t).
- Decompor a gravidade nos eixos radial (para o contato/esfera) e tangencial (para o deslizamento).
Passo 2
Conservação de energia.
– No topo (θ=0) a energia total E₀ = U₀ + K₀ = 0 + 0 = 0 (fixamos U=0 ali).
– Em um ângulo θ, a massa desceu uma altura h = r(1 – cos θ), então
U(θ) = m g · h = m g r (1 – cos θ).
K(θ) = ½ m v².
Conservando energia:
0 = U(θ) + K(θ) ⇒ ½ m v² + m g r (1 – cos θ) = 0
⇒ ½ m v² = – m g r (1 – cos θ)
⇒ v² = 2 g r (1 – cos θ).
– No topo (θ=0) a energia total E₀ = U₀ + K₀ = 0 + 0 = 0 (fixamos U=0 ali).
– Em um ângulo θ, a massa desceu uma altura h = r(1 – cos θ), então
U(θ) = m g · h = m g r (1 – cos θ).
K(θ) = ½ m v².
Conservando energia:
0 = U(θ) + K(θ) ⇒ ½ m v² + m g r (1 – cos θ) = 0
⇒ ½ m v² = – m g r (1 – cos θ)
⇒ v² = 2 g r (1 – cos θ).
Passo 3
Componentes da aceleração em coordenadas polares.
Num movimento sobre uma curva de raio constante r (a esfera), a posição é descrita só pelo ângulo θ(t).
– Aceleração radial (ar) = r¨ – r θ̇², mas aqui r é constante ⇒ r¨=0 ⇒ ar = – r θ̇².
– Aceleração tangencial (a_t) = r θ̈.
Num movimento sobre uma curva de raio constante r (a esfera), a posição é descrita só pelo ângulo θ(t).
– Aceleração radial (ar) = r¨ – r θ̇², mas aqui r é constante ⇒ r¨=0 ⇒ ar = – r θ̇².
– Aceleração tangencial (a_t) = r θ̈.
Só que r θ̇ = v ⇒ θ̇ = v/r. Então θ̇² = v²/r².
Passo 4
Botando v² que achamos lá no passo 2:
v² = 2 g r (1 – cos θ)
⇒ θ̇² = [2 g r (1 – cos θ)] / r² = (2g/r)(1 – cos θ).
v² = 2 g r (1 – cos θ)
⇒ θ̇² = [2 g r (1 – cos θ)] / r² = (2g/r)(1 – cos θ).
Então ar = – r·θ̇² = – r·[(2g/r)(1 – cos θ)] = – 2g (1 – cos θ).
O sinal “–” diz que ar é dirigido para dentro (para o centro da esfera).
O sinal “–” diz que ar é dirigido para dentro (para o centro da esfera).
Passo 5
Agora a_t. Em uma direção tangencial, a única força que contribui é o peso projetado nela.
A componente tangencial de mg é mg sin θ para baixo ao longo da esfera.
Então a_t = (força tangencial)/m = g sin θ.
Isso também bate se a gente usar a_t = r θ̈ e projetar as equações de Newton no eixo tangencial.
A componente tangencial de mg é mg sin θ para baixo ao longo da esfera.
Então a_t = (força tangencial)/m = g sin θ.
Isso também bate se a gente usar a_t = r θ̈ e projetar as equações de Newton no eixo tangencial.
Resposta
ar(θ) = –2 g (1 – cos θ)
a_t(θ) = g sin θ
a_t(θ) = g sin θ