A massa do sólido delimitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=4 e pelos planos z=0 e z=1 \mathrm{com} densidade por unidade de volume \rho(x, y, z)=1+x^{2}+y^{2} é igual a
(A) \frac{16 \pi}{3}.
(B) 8 \pi.
(C) 6 \pi.
(D) 12 \pi.
(E) 40 \pi.
(F) outro valor.

Passo 1

O enunciado pede a massa de um sólido cuja densidade é \rho(x,y,z)=1+x^2+y^2, limitado pelo cilindro x^2+y^2=4 (raio 2) e pelos planos z=0 e z=1. O conteúdo envolve cálculo de integral tripla em coordenadas cilíndricas e o uso do jacobiano.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas definimos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e z=z. Então x^2+y^2=r^2 e o elemento de volume é dV=r\,dr\,d\theta\,dz. A região fica
0\le r\le2,\quad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le z\le1.

Passo 3

A massa M é dada por
M=\iiint_{\text{região}}\rho(x,y,z)\,dV =\int_{z=0}^{1}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2}\bigl(1+r^2\bigr)\,r\,dr\,d\theta\,dz.ã

Passo 4

Primeiro a integral em r:
\int_{0}^{2}(1+r^2)\,r\,dr =\int_{0}^{2}(r+r^3)\,dr =\Bigl[\tfrac{r^2}{2}+\tfrac{r^4}{4}\Bigr]_{0}^{2} =2+4=6.
Depois a integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi}6\,d\theta=12\pi.
Por fim a integral em z:
\int_{0}^{1}12\pi\,dz=12\pi.

Resposta

12\pi, alternativa (D).

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