O valor médio da função f(x, y)=x+y^{2} no intervalo no quadrado 0 \leq x \leq 2 e 0 \leq y \leq 2 é igual a
(A) \frac{5}{2}.
(B) 5 .
(C) 10 .
(D) 4 .
(E) 20 .
(F) outro valor.

Passo 1

O enunciado pede o valor médio da função
f(x,y)=x+y^2
no quadrado definido por 0\le x\le2 e 0\le y\le2.
Conteúdo: média de função de duas variáveis, usando integral dupla. Vamos precisar calcular
\displaystyle \frac{1}{\text{área}} \iint f(x,y)\,dAá.

Passo 2

A fórmula da média de f sobre a região R é
\bar f = \frac{1}{\text{area}(R)} \iint_R f(x,y)\,dA.
Aqui \text{area}(R)=2\cdot2=4 e
\iint_R f(x,y)\,dA =\int_{y=0}^{2}\!\!\int_{x=0}^{2}\bigl(x+y^2\bigr)\,dx\,dy.

Passo 3

Integramos primeiro em x:
\int_{x=0}^{2}\bigl(x+y^2\bigr)\,dx =\int_{0}^{2}x\,dx \;+\;y^2\int_{0}^{2}1\,dx =\frac{2^2}{2}+y^2\cdot2 =2+2y^2.

Passo 4

Agora integramos em y:
\int_{y=0}^{2}\bigl(2+2y^2\bigr)\,dy =2\int_{0}^{2}1\,dy+2\int_{0}^{2}y^2\,dy =2\cdot2+2\cdot\frac{2^3}{3} =4+\frac{16}{3} =\frac{28}{3}.

Passo 5

Divide-se pelo área 4:
\bar f =\frac{1}{4}\,\frac{28}{3} =\frac{28}{12} =\frac{7}{3}\approx2{,}33.
Esse valor não coincide com nenhuma das alternativas (A)–(E).

Resposta

(F) outro valor, pois a média é \tfrac{7}{3}.

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