O trabalho realizado pela força \vec{F}(x, y)=(2 x y+1, y) sobre uma partícula que se movimenta ao longo da curva \vec{r}(t)=\left(t, t^{2}\right), 0 \leq t \leq 1, é igual a
(A) -1 .
(B) 2 .
(C) 1 .
(D) 0 .
(E) -2 .
(F) outro valor.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho
W=\int_C\vec F\cdot d\vec r
em que \vec F(x,y)=(2xy+1,\,y) e a curva C é dada por \vec r(t)=(t,\;t^2) para 0\le t\le1. Para resolver, vamos parametrizar \vec F e d\vec r em função de t e depois integrar o produto escalar.

Passo 2

Parametrizamos \vec F ao longo da curva:
x=t,\quad y=t^2 \quad\Longrightarrow\quad \vec F(\vec r(t))=\bigl(2\,t\,(t^2)+1,\;t^2\bigr)=(2t^3+1,\;t^2).
Também
d\vec r=\frac{d\vec r}{dt}\,dt=(1,\;2t)\,dt.

Passo 3

Calculamos o produto escalar \vec F(\vec r(t))\cdot\frac{d\vec r}{dt}:
(2t^3+1)\cdot1+(t^2)\cdot(2t) =2t^3+1+2t^3=4t^3+1.

Passo 4

Integrando de t=0 a t=1:
W=\int_{0}^{1}(4t^3+1)\,dt =\Bigl[t^4+t\Bigr]_{0}^{1} =(1^4+1)-(0+0) =2.

Resposta

(B) 2

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