Se S é a superfície x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 com orientação para fora, então
é igual a
\iint_{S}\left(z^{2} x+x e^{y},-2 y z,-z e^{y}+z^{2}\right) \cdot d \vec{S}
(A) -\frac{128 \pi}{15}.
(B) \frac{64 \pi}{3}.
(C) 0 .
(D) -\frac{64 \pi}{3}.
(E) \frac{128 \pi}{15}.
(F) outro valor.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec F(x,y,z) = \bigl(z^{2}x + x e^{y},\,-2yz,\,-z e^{y} + z^{2}\bigr) através da esfera S\colon x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 orientada para fora. O conteúdo principal aqui é o Teorema da Divergência, que diz que
\iint_{S}\vec F\cdot d\vec S \;=\;\iiint_{V}\bigl(\nabla\cdot\vec F\bigr)\,dV,
onde V é a bola de raio 3 cujo contorno é S.

Passo 2

Calculemos a divergência de \vec F:
\nabla\cdot\vec F =\frac{\partial}{\partial x}(z^{2}x + x e^{y}) +\frac{\partial}{\partial y}(-2yz) +\frac{\partial}{\partial z}(-z e^{y} + z^{2}).
Derivando,
\frac{\partial}{\partial x}(z^{2}x)=z^{2},\quad \frac{\partial}{\partial x}(x e^{y})=e^{y},\quad \frac{\partial}{\partial y}(-2yz)=-2z,\quad \frac{\partial}{\partial z}(-z e^{y})=-e^{y},\quad \frac{\partial}{\partial z}(z^{2})=2z.
Somando tudo:
\nabla\cdot\vec F = \bigl(z^{2}+e^{y}\bigr) + (-2z) + \bigl(-e^{y}+2z\bigr) = z^{2}.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência,
\iint_{S}\vec F\cdot d\vec S = \iiint_{V} z^{2}\,dV,
onde V é a bola de raio 3.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \iiint_{V} z^{2}\,dV, usamos coordenadas esféricas:
z = r\cos\theta,\quad dV = r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi,
com 0\le r\le3, 0\le\theta\le\pi, 0\le\varphi\le2\pi. Então
\iiint_{V} z^{2}\,dV = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi}\!\!\int_{0}^{3} (r\cos\theta)^{2}\;r^{2}\sin\theta\;dr\,d\theta\,d\varphi.
Separe em fatores:
\int_{0}^{2\pi}d\varphi = 2\pi, \quad \int_{0}^{3}r^{4}\,dr = \frac{3^{5}}{5}=\frac{243}{5},
\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta\sin\theta\,d\theta \;=\; \int_{u=1}^{-1}u^{2}(-du) \;=\; \int_{-1}^{1}u^{2}\,du \;=\;\frac{2}{3}.
Multiplicando:
\iiint_{V} z^{2}\,dV = 2\pi \times \frac{2}{3} \times \frac{243}{5} = \frac{972\pi}{15} = \frac{324\pi}{5}.

Resposta

O valor exato do fluxo é
\frac{324\pi}{5},
que não coincide com nenhuma das alternativas (A)–(E). Portanto a resposta correta é a opção (F) outro valor.

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