As massas e coordenadas de quatro partículas são as seguintes: \left\{ \begin{array}{l} m_{1}=50 \mathrm{~g} \\\ x_{1}=2 \mathrm{~cm} \\\ y_{1}=2 \mathrm{~cm} \end{array} \right. \quad\left\{ \begin{array}{l} m_{2}=25 \mathrm{~g} \\\ x_{2}=0 \mathrm{~cm} \\\ y_{2}=4 \mathrm{~cm} \end{array} \right. \quad\left\{ \begin{array}{l} m_{3}=25 \mathrm{~g} \\\ x_{3}=-3 \mathrm{~cm} \\\ y_{3}=-3 \mathrm{~cm} \end{array} \right. \quad\left\{ \begin{array}{c} m_{4}=30 \mathrm{~g} \\\ x_{4}=-2 \mathrm{~cm} \\\ y_{4}=4 \mathrm{~cm} \end{array} \right.
Qual é o momento de inércia do conjunto em relação ao:
a) Eixo x ?
b) Eixo y ?
c) Eixo z ?
d) Suponha que as respostas de (a) e (b) sejam A e B, respectivamente. Nesse caso, qual é a resposta de (c) em termos de A e B ?

Passo 1

O enunciado dá quatro partículas puntuais com massas m_i e coordenadas (x_i,y_i) no plano. Pede o momento de inércia em relação aos eixos x, y e z, e depois relacionar I_z com I_x e I_y. O conteúdo usado é o momento de inércia de um sistema discreto, cuja fórmula geral é
I_{\text{eixo}} \;=\;\sum_{i} m_i\,d_i^2
onde d_i é a distância de cada partícula ao eixo em questão.

Passo 2

Para o eixo x, a distância de uma partícula ao eixo é |y_i|. Logo
I_x \;=\;\sum_{i=1}^{4} m_i\,y_i^2
Substituindo os valores (em g e cm):
I_x = 50\cdot2^2 \;+\;25\cdot4^2\;+\;25\cdot(-3)^2\;+\;30\cdot4^2 =200+400+225+480=1305
Portanto I_x=1305 g\cdot cm ^2.

Passo 3

Para o eixo y, a distância é |x_i|. Assim
I_y \;=\;\sum_{i=1}^{4} m_i\,x_i^2
Substituindo:
I_y = 50\cdot2^2 \;+\;25\cdot0^2\;+\;25\cdot(-3)^2\;+\;30\cdot(-2)^2 =200+0+225+120=545
Logo I_y=545 g\cdot cm ^2.

Passo 4

Para o eixo z perpendicular ao plano, cada partícula está a uma distância r_i=\sqrt{x_i^2+y_i^2}, então
I_z = \sum_{i=1}^4 m_i\,(x_i^2 + y_i^2).
Calculando direto ou usando o teorema dos eixos perpendiculares, obtemos
I_z = I_x + I_y = 1305 + 545 = 1850
ou seja I_z=1850 g\cdot cm ^2.

Passo 5

O teorema dos eixos perpendiculares afirma que, para um corpo plano no plano xy,
I_z = I_x + I_y.
Assim, se chamarmos I_x=A e I_y=B, então I_z = A + B.

Resposta

a) I_x = 1305 g\cdot cm ^2
b) I_y = 545 g\cdot cm ^2
c) I_z = 1850 g\cdot cm ^2
d) I_z = A + B

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