Nos Problemas 1-18, use a Definição 7.1.1 para determinar mathcal{L}\{f(t)\}\) \(f(t)= \begin{cases}0, & 0 \leq t<\pi / 2 \\\ \cos t, & t \geq \pi / 2\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(t)= \begin{cases} 0, & 0\le t<\tfrac\pi2,\\\ \cos t, & t\ge \tfrac\pi2, \end{cases}
e pede a transformada de Laplace \mathcal L\{f(t)\}. Vamos usar a definição
\mathcal L\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt
e o fato de que f(t)=0 para t<\tfrac\pi2.

Passo 2

Pela definição,
\mathcal L\{f(t)\} =\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt =\int_{\frac\pi2}^{\infty}\cos t\,e^{-st}\,dt
pois para 0\le t<\tfrac\pi2 o integrando é zero.

Passo 3

Para avaliar \displaystyle \int_{\frac\pi2}^{\infty}\cos t\,e^{-st}\,dt,
usamos a antiderivada conhecida
\int e^{-st}\cos t\,dt =\frac{e^{-st}\bigl(-s\cos t+\sin t\bigr)}{s^2+1}.

Passo 4

Aplicando limites de \,t=\tfrac\pi2 até t\to\infty, e lembrando que e^{-st}\to0 quando \Re(s)>0, obtemos
\int_{\frac\pi2}^{\infty}\cos t\,e^{-st}\,dt =\Bigl[\,0\Bigr] \;-\;\frac{e^{-s\frac\pi2}\bigl(-s\cos(\tfrac\pi2)+\sin(\tfrac\pi2)\bigr)}{s^2+1} =-\frac{e^{-s\frac\pi2}}{s^2+1}.

Resposta

\mathcal L\{f(t)\} =-\frac{e^{-s\pi/2}}{s^2+1}.

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