Nos Problemas 1-18, use a Definição 7.1.1 para determinar mathcal{L}\{f(t)\}\) \(f(t)= \begin{cases}-1, & 0 \leq t<1 \\\\ 1, & t \geq 1\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)= \begin{cases} -1, & 0\le t<1,\\\\ 1, & t\ge1 \end{cases}
usando a Definição 7.1.1, que diz que
\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt.

Passo 2

Como f é piecewise, dividimos a integral em dois trechos:
\mathcal{L}\{f(t)\} =\int_{0}^{1}(-1)e^{-st}\,dt +\int_{1}^{\infty}(1)e^{-st}\,dt.

Passo 3

Calculando a primeira integral:
\int_{0}^{1}(-1)e^{-st}\,dt =-\int_{0}^{1}e^{-st}\,dt =-\Bigl[\frac{e^{-st}}{-s}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{e^{-s}-1}{s}.

Passo 4

Agora a segunda integral:
\int_{1}^{\infty}e^{-st}\,dt =\Bigl[-\frac{e^{-st}}{s}\Bigr]_{1}^{\infty} =0-\Bigl(-\frac{e^{-s}}{s}\Bigr) =\frac{e^{-s}}{s}.

Passo 5

Somando os dois resultados:
\mathcal{L}\{f(t)\} =\frac{e^{-s}-1}{s}+\frac{e^{-s}}{s} =\frac{2e^{-s}-1}{s}.

Resposta

\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{2e^{-s}-1}{s}.

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