MAT0169: Quarta Atividade a Distância (A4)
Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente.
Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é verificar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Isso envolve o estudo de integrais que vão até o infinito, ou seja, integrais que têm limites de integração que se estendem indefinidamente. Para resolver, vamos usar conceitos de cálculo integral e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma integral ser convergente ou divergente. Uma integral imprópria é convergente se ela resulta em um número finito quando calculamos o limite. Se o resultado for infinito, dizemos que a integral diverge.
Passo 3
Vamos calcular a integral
. Como o limite superior é infinito, vamos reescrever essa integral como um limite:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral definida
. A antiderivada de
é
, pois sabemos que
.
Então,
Passo 5
Sabemos que
, então a expressão simplifica para:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Sabemos que
tende a
quando
vai para o infinito.
Passo 7
Portanto, o limite é:
Como o resultado é um número finito, a integral é convergente.
Resposta
A integral imprópria
é convergente e seu valor é
.