MAT0169: Quarta Atividade a Distância (A4)
Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente.
integral0^infty 11+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é verificar se a integral imprópria integral0^infty 11+x^2 dx é convergente ou divergente. Isso envolve o estudo de integrais que vão até o infinito, ou seja, integrais que têm limites de integração que se estendem indefinidamente. Para resolver, vamos usar conceitos de cálculo integral e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral ser convergente ou divergente. Uma integral imprópria é convergente se ela resulta em um número finito quando calculamos o limite. Se o resultado for infinito, dizemos que a integral diverge.

Passo 3

Vamos calcular a integral integral0^infty 11+x^2 dx. Como o limite superior é infinito, vamos reescrever essa integral como um limite:
integral0^infty 11+x^2 dx = limb to infty integral0^b 11+x^2 dx

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral definida integral0^b 11+x^2 dx. A antiderivada de 11+x^2 é arctan(x), pois sabemos que ddx arctan(x) = 11+x^2.
Então,
integral0^b 11+x^2 dx = arctan(b) - arctan(0)

Passo 5

Sabemos que arctan(0) = 0, então a expressão simplifica para:
arctan(b) - 0 = arctan(b)

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando b tende ao infinito:
limb to infty arctan(b)
Sabemos que arctan(b) tende a pi2 quando b vai para o infinito.

Passo 7

Portanto, o limite é:
limb to infty arctan(b) = pi2
Como o resultado é um número finito, a integral é convergente.

Resposta

A integral imprópria integral0^infty 11+x^2 dx é convergente e seu valor é pi2.

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