MAT0169: Quarta Atividade a Distância (A4)
Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=1^infty(-1)^n n^35^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a série sumn=1^infty (-1)^n n^35^n converge ou diverge. Isso envolve o estudo de séries infinitas e a convergência de séries alternadas. Para resolver, vamos precisar entender alguns testes de convergência, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a série sem considerar o fator alternante (-1)^n. Isso nos dá a série sumn=1^infty n^35^n. Se essa série converge, então a série original converge absolutamente. Para verificar a convergência dessa série, vamos usar o Teste da Razão.

Passo 3

O Teste da Razão funcionaa da seguinte forma: calculamos o limite
L = limn to infty | an+1an |
onde an = n^35^n. Vamos calcular:
an+1an = (n+1)^35^n+1 cdot 5^nn^3 = (n+1)^35 cdot n^3
Simplificando, temos:
L = limn to infty (n+1)^35 cdot n^3 = 15 limn to infty (1 + 1n)^3 = 15 cdot 1 = 15

Passo 4

Segundo o Teste da Razão, se L < 1, a série converge absolutamente. No nosso caso, L = 15 < 1, então a série sumn=1^infty n^35^n converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n n^35^n converge absolutamente.

Exercícios relacionados