a) |2 x+5| \geq 0

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva a desigualdade
|2x+5| \geq 0.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão dentro do valor absoluto é 2x+5.
  • Não foi dada nenhuma restrição explícita sobre x, logo assumimos que x varia em todos os números reais.
  • A pergunta é: para quais valores de x a desigualdade acima é verdadeira?

Passo 2

Vamos revisar o que é valor absoluto e uma propriedade-chave que vai nos salvar aqui.
Definição (valor absoluto): para qualquer número real y\), \[|y| = \begin{cases} y, & \text{se } y \geq 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y < 0. \end{cases}
Explicação simples: o valor absoluto mede a “distância” de (y] até zero na reta numérica, então sempre dá um número não negativo. Exemplos rápidos:
|3| = 3,\qquad |-4| = -(-4)=4.
Propriedade importante: para todo y\in\mathbb{R} vale
|y| \geq 0,
com igualdade |y|=0 ocorrendo exatamente quando y=0.]

Passo 3

Aplicando essa propriedade ao nosso caso, com y = 2x+5, temos imediatamente que para qualquer número real x
|2x+5| \geq 0,
porque valor absoluto de qualquer expressão real é sempre não negativo.

Passo 4

Podemos também ver o caso da igualdade (quando a expressão vale exatamente zero), porque isso costuma cair em prova:
|2x+5| = 0 \iff 2x+5 = 0.
Resolvendo 2x+5=0:
2x = -5 \quad\Rightarrow\quad x = -\tfrac{5}{2}.
Ou seja, no ponto x = -\tfrac{5}{2} o valor absoluto atinge seu mínimo 0. Mas como a desigualdade é \geq 0, qualquer x que torne a expressão positiva ou zero também serve — e do passo anterior sabemos que isso vale para todos os x.

Passo 5

(Resolução alternativa por casos, só para treinar e ver que dá a mesma coisa.)
  • Se 2x+5 \ge 0, então |2x+5| = 2x+5 e a desigualdade vira 2x+5 \ge 0, que é exatamente a mesma condição que estamos supondo, então é satisfeita.
  • Se 2x+5 < 0, então |2x+5| = -(2x+5) e a desigualdade vira -(2x+5)\ge 0, isto é, 2x+5 \le 0, que também é verdadeira sob a hipótese deste caso.
Em ambos os casos a desigualdade é verdadeira, confirmando a conclusão.

Resposta

\mathbb{R}

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