a)
Passo 1
O enunciado pede que a gente resolva a desigualdade
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão dentro do valor absoluto é
. - Não foi dada nenhuma restrição explícita sobre
, logo assumimos que varia em todos os números reais. - A pergunta é: para quais valores de
a desigualdade acima é verdadeira?
Passo 2
Vamos revisar o que é valor absoluto e uma propriedade-chave que vai nos salvar aqui.
Definição (valor absoluto): para qualquer número real
Explicação simples: o valor absoluto mede a “distância” de (y] até zero na reta numérica, então sempre dá um número não negativo. Exemplos rápidos:
Propriedade importante: para todo
vale
com igualdade
ocorrendo exatamente quando
.]
Passo 3
Aplicando essa propriedade ao nosso caso, com
, temos imediatamente que para qualquer número real
porque valor absoluto de qualquer expressão real é sempre não negativo.
Passo 4
Podemos também ver o caso da igualdade (quando a expressão vale exatamente zero), porque isso costuma cair em prova:
Resolvendo
:
Ou seja, no ponto
o valor absoluto atinge seu mínimo
. Mas como a desigualdade é
, qualquer
que torne a expressão positiva ou zero também serve — e do passo anterior sabemos que isso vale para todos os
.
Passo 5
(Resolução alternativa por casos, só para treinar e ver que dá a mesma coisa.)
- Se
, então e a desigualdade vira , que é exatamente a mesma condição que estamos supondo, então é satisfeita. - Se
, então e a desigualdade vira , isto é, , que também é verdadeira sob a hipótese deste caso.
Em ambos os casos a desigualdade é verdadeira, confirmando a conclusão.