Em um material dielétrico, E_{x}=5 V / m e a polarização elétrica é dada por:
\vec{P}=\frac{1}{10 \pi}\left(3 \vec{a}_{x}-\vec{a}_{y}+4 \vec{a}_{z}\right) \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2}
Calcule:
(a) A suscetibilidade elétrica \chi_{e} do material.
(b) O vetor de deslocamento elétrico \vec{D}.
(c) A permissividade relativa \varepsilon_{r}.

Passo 1

Temos um dielétrico linear onde o campo elétrico é \vec{E}=E_{x}\,\vec{a}_{x}=5\\ \mathrm{V/m}\,\vec{a}_{x}
e a polarização elétrica é
\vec{P}=\frac{1}{10\pi}\,(3\,\vec{a}_{x}-\vec{a}_{y}+4\,\vec{a}_{z})\;\mathrm{nC/m^{2}}.
Vamos usar as relações do dielétrico linear isotrópico: \vec{P}=\varepsilon_{0}\,\chi_{e}\,\vec{E}, \vec{D}=\varepsilon_{0}\,\vec{E}+\vec{P} e \varepsilon_{r}=1+\chi_{e}.
O valor de \varepsilon_{0} vale 8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.

Passo 2

Para achar a suscetibilidade elétrica \chi_{e} usamos apenas a componente x, pois \,P_{x}=\varepsilon_{0}\,\chi_{e}\,E_{x}.
Primeiro convertemos P_{x} para \mathrm{C/m^{2}}:
P_{x}=\frac{3}{10\pi}\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{2}} \approx9{,}549\times10^{-11}\\ \mathrm{C/m^{2}}.
Logo
\chi_{e} =\frac{P_{x}}{\varepsilon_{0}\,E_{x}} =\frac{9{,}549\times10^{-11}}{(8{,}854\times10^{-12})\,(5)} \approx2{,}16.

Passo 3

Agora calculamos o vetor de deslocamento elétrico \vec{D}=\varepsilon_{0}\,\vec{E}+\vec{P}.
Em \mathrm{C/m^{2}} temos:
\varepsilon_{0}E_{x} =8{,}854\times10^{-12}\times5 =4{,}427\times10^{-11}, \quad P_{y}=-\frac{1}{10\pi}\,10^{-9}\approx-3{,}183\times10^{-11}, \quad P_{z}=\frac{4}{10\pi}\,10^{-9}\approx1{,}273\times10^{-10}.
Portanto
\vec{D} =(4{,}427\times10^{-11}+9{,}549\times10^{-11})\,\vec{a}_{x} +(-3{,}183\times10^{-11})\,\vec{a}_{y} +(1{,}273\times10^{-10})\,\vec{a}_{z}
\vec{D} \approx1{,}3976\times10^{-10}\,\vec{a}_{x} -3{,}183\times10^{-11}\,\vec{a}_{y} +1{,}273\times10^{-10}\,\vec{a}_{z} \quad[\mathrm{C/m^{2}}].

Passo 4

A permissividade relativa é
\varepsilon_{r}=1+\chi_{e}=1+2{,}16=3{,}16.

Resposta

(a) \chi_{e}\approx2{,}16.
(b) \displaystyle\vec{D}\approx1{,}398\times10^{-10}\,\vec{a}_{x}-3{,}183\times10^{-11}\,\vec{a}_{y}+1{,}273\times10^{-10}\,\vec{a}_{z}\\ \mathrm{C/m^{2}}.
(c) \varepsilon_{r}\approx3{,}16.

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