Realize o que se pede:
(a) Explique a lei de Biot-Savart.
(b) Considere uma linha infinita com uma corrente de 10 A na direção +a_{x} ao longo do eixo x. Encontre \vec{H} em (0,1,0) m.

Valor: 2.5 pt

\qquad

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) explicar a lei de Biot–Savart, que é parte da magnetostática e dá o campo magnético gerado por uma corrente; (b) aplicar essa lei para um fio retilíneo infinito, alinhado ao eixo x, com corrente I=10\:\mathrm{A} em +a_x, e calcular \vec{H} no ponto (0,1,0)\:\mathrm{m}. Para isso vamos usar a forma integral da lei de Biot–Savart para \vec{H}.

Passo 2

A lei de Biot–Savart em termos de \vec{H} afirma que cada elemento de corrente I\,d\vec{\ell} gera um campo diferencial
d\vec{H}(\vec{r}) \;=\; \frac{I\,d\vec{\ell}\times\bigl(\vec{r}-\vec{r}'\bigr)}{4\pi\,\bigl|\vec{r}-\vec{r}'\bigr|^{3}},
onde \vec{r}' é a posição do elemento de corrente e \vec{r} é o ponto onde se avalia o campo. Para obter \vec{H} total, integra-se esse d\vec{H} sobre toda a trajetória da corrente.

Passo 3

No nosso caso o fio é o eixo x, então um elemento genérico está em \vec{r}'=x\,\hat a_x com d\vec{\ell}=dx\,\hat a_x. O ponto de observação é \vec{r}=0\,\hat a_x+1\,\hat a_y+0\,\hat a_z. Logo o vetor que liga o elemento ao ponto é
\vec{R}=\vec{r}-\vec{r}'=-x\,\hat a_x+1\,\hat a_y,
com \bigl|\vec{R}\bigr|=\sqrt{x^2+1}. Substituindo em Biot–Savart:
\vec{H} =\frac{I}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d\vec{\ell}\times\vec{R}}{\bigl|\vec{R}\bigr|^3} =\frac{I}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\bigl(dx\,\hat a_x\bigr)\times\bigl(-x\,\hat a_x+1\,\hat a_y\bigr)}{(x^2+1)^{3/2}}.

Passo 4

O produto vetorial é
dx\,\hat a_x \times\bigl(-x\,\hat a_x+1\,\hat a_y\bigr) =dx\;\bigl(\hat a_x\times\hat a_y\bigr) =dx\;\hat a_z,
pois \hat a_x\times\hat a_x=0 e \hat a_x\times\hat a_y=\hat a_z. Assim
\vec{H} =\frac{I}{4\pi}\,\hat a_z \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(x^2+1)^{3/2}} =\frac{I}{4\pi}\,\hat a_z\cdot\frac{2}{1^2} =\frac{I}{2\pi}\,\hat a_z.

Passo 5

Substituindo I=10\:\mathrm{A}, obtemos
\vec{H}(0,1,0) =\frac{10}{2\pi}\,\hat a_z =\frac{5}{\pi}\,\hat a_z\quad\bigl(\mathrm{A/m}\bigr).

Resposta

(a) A lei de Biot–Savart diz que o campo magnético \vec{H} num ponto \vec{r} é dado pela integral
\vec{H}(\vec{r}) =\frac{I}{4\pi}\int\frac{d\vec{\ell}\times(\vec{r}-\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|^3},
onde I\,d\vec{\ell} é o elemento de corrente e \vec{r}' sua posição.
(b) Para o fio infinito ao longo de x com I=10\:\mathrm{A}, em (0,1,0),m vale
\vec{H}=\frac{5}{\pi}\,\hat a_z\quad(\mathrm{A/m}).

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