Questão 1: As equações de Maxwell descrevem os campos eletromagnéticos e sintetizam todo o eletromagnetismo. Vimos que as equações de Maxwell no vácuo podem ser escritas nas formas integral e diferencial respectivamente, como:
\begin{array}{lr} \oint_{S} \vec{E} \cdot d \vec{S}=\frac{q}{\epsilon_{0}} ; & \vec{\nabla} \cdot \vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_{0}} \\\ \oint_{S} \vec{B} \cdot d \vec{S}=0 ; & \vec{\nabla} \cdot \vec{B}=0 \\\ \oint_{C} \vec{B} \cdot d \vec{l}=\mu_{0} i ; & \vec{\nabla} \times \vec{B}=\mu_{0} \vec{j} \\\ \oint_{C} \vec{E} \cdot d \vec{l}=-\frac{d}{d t} \int_{S} \vec{B} \cdot d \vec{S} ; & \vec{\nabla} \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \end{array}
(a) Use os conceitos matemáticos de fluxo e circulação de campos vetoriais para descrever fisicamente o significado de cada uma das equações de Maxwell na forma integral;
(b) Use os conceitos matemáticos de divergente e rotacional de campos vetoriais para descrever fisicamente o significado de cada uma das equações de Maxwell na forma diferencial;
(c) Discuta a diferença de campos eletrostáticos e não eletrostáticos;
(d) Use os teoremas de Gauss e de Stokes para converter as equações de Maxwell da sua forma integral para a forma diferencial e vice-versa.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas sobre as equações de Maxwell no vácuo, escritas em forma integral e diferencial:
  1. Interpretar fisicamente, em termos de fluxo e circulação, cada equação integral.
  2. Interpretar fisicamente, em termos de divergente e rotacional, cada equação diferencial.
  3. Explicar a diferença entre campos eletrostáticos e não eletrostáticos.
  4. Mostrar como, usando o teorema de Gauss (divergente) e o de Stokes (rotacional), se passa de cada forma integral à forma diferencial e vice-versa.

Passo 2

Gauss para o campo elétrico (lei da carga):
Integralmente
\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{q_{\text{int}}}{\epsilon_{0}}
significa que o fluxo total de \vec{E} através de uma superfície fechada S é proporcional à carga q_{\text{int}} contida em seu interior. Em outras palavras, cargas elétricas são “fontes” (ou “sumidouros”, se negativas) do campo elétrico.

Passo 3

Gauss para o campo magnético (lei da ausência de monopolo):
Integralmente
\oint_{S}\vec{B}\cdot d\vec{S}=0
diz que o fluxo líquido de \vec{B} por qualquer superfície fechada é sempre zero, ou seja, não existem “cargas magnéticas” isoladas: linhas de campo magnético são sempre laços fechados.

Passo 4

Lei de Ampère (sem termo de Maxwell):
Integralmente
\oint_{C}\vec{B}\cdot d\vec{\ell}=\mu_{0} i_{\text{enc}}
significa que a circulação de \vec{B} em torno de um contorno fechado C é proporcional à corrente elétrica i_{\text{enc}} que atravessa a superfície limitada por C. Em resumo, correntes elétricas criam um campo magnético que “circula” em volta delas.

Passo 5

Lei de Faraday da indução:
Integralmente
\oint_{C}\vec{E}\cdot d\vec{\ell}=-\frac{d}{dt}\int_{S}\vec{B}\cdot d\vec{S}
diz que a circulação de \vec{E} ao redor de C é igual à taxa de variação negativa do fluxo de \vec{B} pela superfície S limitada por C. Fisicamente, um campo magnético variável no tempo induz um campo elétrico em torno dele.

Passo 6

Divergente de \vec{E} (forma diferencial de Gauss):
\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_{0}}
indica localmente que, em cada ponto, a densidade de fluxo que “sai” do ponto é proporcional à densidade de carga \rho ali presente.

Passo 7

Divergente de \vec{B} (forma diferencial de Gauss para o magnetismo):
\nabla\cdot\vec{B}=0
mostra que, em cada ponto, não há fontes nem sumidouros de campo magnético — o campo é sempre “sem monopolos”.

Passo 8

Rotacional de \vec{B} (forma diferencial de Ampère):
\nabla\times\vec{B}=\mu_{0}\,\vec{j}
expressa que, ponto a ponto, a “tendência” do campo magnético em circular em torno de um eixo é dada pela densidade de corrente \vec{j} nesse ponto.

Passo 9

Rotacional de \vec{E} (forma diferencial de Faraday):
\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}
informa que, localmente, se \vec{B} varia no tempo, então \vec{E} tem um “giro” cujo sentido e intensidade estão ligados a -\partial\vec{B}/\partial t.

Passo 10

Campos eletrostáticos vs. não eletrostáticos
Um campo é eletrostático quando independe do tempo: \partial\vec{E}/\partial t=0. Nesse caso não há termo de indução, então \nabla\times\vec{E}=0 e \vec{E} pode ser expresso como gradiente de potencial elétrico \vec{E}=-\nabla V. Em campos não eletrostáticos (ex.: induzidos por ímãs variando no tempo ou correntes alternadas), \partial\vec{E}/\partial t\neq0, gera-se circulação de \vec{E} e não há potencial escalar único.

Passo 11

Conversão entre as formas integral e diferencial
  1. Gauss (teorema da divergente):
\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S}=\int_{V}(\nabla\cdot\vec{E})\,dV,
então
\int_{V}(\nabla\cdot\vec{E})\,dV=\frac{1}{\epsilon_{0}}\int_{V}\rho\,dV
vale para qualquer volume V, o que implica ponto a ponto
\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_{0}}.
O mesmo raciocínio com \vec{B} leva a \nabla\cdot\vec{B}=0.
2. Stokes (teorema do rotacional):
\oint_{C}\vec{B}\cdot d\vec{\ell}=\int_{S}(\nabla\times\vec{B})\cdot d\vec{S}
e igualando a \mu_{0}i_{\text{enc}}=\mu_{0}\int_{S}\vec{j}\cdot d\vec{S} surge \nabla\times\vec{B}=\mu_{0}\vec{j}. Analogamente \oint_{C}\vec{E}\cdot d\vec{\ell}=\int_{S}(\nabla\times\vec{E})\cdot d\vec{S}
igual a -\tfrac{d}{dt}\!\int_{S}\vec{B}\cdot d\vec{S} gera \nabla\times\vec{E}=-\partial\vec{B}/\partial t.
Para ir de diferencial a integral, integra-se localmente e aplica-se o respectivo teorema (Gauss ou Stokes) em domínio arbitrário.

Resposta

(a) Fluxo de \vec{E} gera carga; fluxo de \vec{B} nulo revela ausência de monopolos; circulação de \vec{B} envolve corrente; circulação de \vec{E} aparece se \vec{B} varia.
(b) \nabla\cdot\vec{E}=\rho/\epsilon_{0}: geradores de campo; \nabla\cdot\vec{B}=0: nenhum monopolo; \nabla\times\vec{B}=\mu_{0}\vec{j}: correntes giram \vec{B}; \nabla\times\vec{E}=-\partial\vec{B}/\partial t: \vec{B} variável gira \vec{E}.
(c) Eletrostático: \partial\vec{E}/\partial t=0, sem termos de indução, \vec{E}=-\nabla V. Não eletrostático: \partial\vec{E}/\partial t\neq0, gera campos não conservativos.
(d) Usando o teorema de Gauss troca-se integral de superfície por volume de divergente; com Stokes troca-se integral de contorno por superfície de rotacional, permitindo passar de cada forma à outra.

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