Questão 1: As equações de Maxwell descrevem os campos eletromagnéticos e sintetizam todo o eletromagnetismo. Vimos que as equações de Maxwell no vácuo podem ser escritas nas formas integral e diferencial respectivamente, como:
(a) Use os conceitos matemáticos de fluxo e circulação de campos vetoriais para descrever fisicamente o significado de cada uma das equações de Maxwell na forma integral;
(b) Use os conceitos matemáticos de divergente e rotacional de campos vetoriais para descrever fisicamente o significado de cada uma das equações de Maxwell na forma diferencial;
(c) Discuta a diferença de campos eletrostáticos e não eletrostáticos;
(d) Use os teoremas de Gauss e de Stokes para converter as equações de Maxwell da sua forma integral para a forma diferencial e vice-versa.
(b) Use os conceitos matemáticos de divergente e rotacional de campos vetoriais para descrever fisicamente o significado de cada uma das equações de Maxwell na forma diferencial;
(c) Discuta a diferença de campos eletrostáticos e não eletrostáticos;
(d) Use os teoremas de Gauss e de Stokes para converter as equações de Maxwell da sua forma integral para a forma diferencial e vice-versa.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas sobre as equações de Maxwell no vácuo, escritas em forma integral e diferencial:
- Interpretar fisicamente, em termos de fluxo e circulação, cada equação integral.
- Interpretar fisicamente, em termos de divergente e rotacional, cada equação diferencial.
- Explicar a diferença entre campos eletrostáticos e não eletrostáticos.
- Mostrar como, usando o teorema de Gauss (divergente) e o de Stokes (rotacional), se passa de cada forma integral à forma diferencial e vice-versa.
Passo 2
Gauss para o campo elétrico (lei da carga):
Integralmente
Integralmente
significa que o fluxo total de
através de uma superfície fechada
é proporcional à carga
contida em seu interior. Em outras palavras, cargas elétricas são “fontes” (ou “sumidouros”, se negativas) do campo elétrico.
Passo 3
Gauss para o campo magnético (lei da ausência de monopolo):
Integralmente
Integralmente
diz que o fluxo líquido de
por qualquer superfície fechada é sempre zero, ou seja, não existem “cargas magnéticas” isoladas: linhas de campo magnético são sempre laços fechados.
Passo 4
Lei de Ampère (sem termo de Maxwell):
Integralmente
Integralmente
significa que a circulação de
em torno de um contorno fechado
é proporcional à corrente elétrica
que atravessa a superfície limitada por
. Em resumo, correntes elétricas criam um campo magnético que “circula” em volta delas.
Passo 5
Lei de Faraday da indução:
Integralmente
Integralmente
diz que a circulação de
ao redor de
é igual à taxa de variação negativa do fluxo de
pela superfície
limitada por
. Fisicamente, um campo magnético variável no tempo induz um campo elétrico em torno dele.
Passo 6
Divergente de
(forma diferencial de Gauss):
indica localmente que, em cada ponto, a densidade de fluxo que “sai” do ponto é proporcional à densidade de carga
ali presente.
Passo 7
Divergente de
(forma diferencial de Gauss para o magnetismo):
mostra que, em cada ponto, não há fontes nem sumidouros de campo magnético — o campo é sempre “sem monopolos”.
Passo 8
Rotacional de
(forma diferencial de Ampère):
expressa que, ponto a ponto, a “tendência” do campo magnético em circular em torno de um eixo é dada pela densidade de corrente
nesse ponto.
Passo 9
Rotacional de
(forma diferencial de Faraday):
informa que, localmente, se
varia no tempo, então
tem um “giro” cujo sentido e intensidade estão ligados a
.
Passo 10
Campos eletrostáticos vs. não eletrostáticos
Um campo é eletrostático quando independe do tempo: . Nesse caso não há termo de indução, então
e
pode ser expresso como gradiente de potencial elétrico
. Em campos não eletrostáticos (ex.: induzidos por ímãs variando no tempo ou correntes alternadas),
, gera-se circulação de
e não há potencial escalar único.
Um campo é eletrostático quando independe do tempo:
Passo 11
Conversão entre as formas integral e diferencial
- Gauss (teorema da divergente):
então
vale para qualquer volume
, o que implica ponto a ponto
O mesmo raciocínio com
leva a
.
2. Stokes (teorema do rotacional):
2. Stokes (teorema do rotacional):
e igualando a
surge
. Analogamente
igual a gera
.
Para ir de diferencial a integral, integra-se localmente e aplica-se o respectivo teorema (Gauss ou Stokes) em domínio arbitrário.
igual a
Para ir de diferencial a integral, integra-se localmente e aplica-se o respectivo teorema (Gauss ou Stokes) em domínio arbitrário.
Resposta
(a) Fluxo de
gera carga; fluxo de
nulo revela ausência de monopolos; circulação de
envolve corrente; circulação de
aparece se
varia.
(b) : geradores de campo;
: nenhum monopolo;
: correntes giram
;
:
variável gira
.
(c) Eletrostático: , sem termos de indução,
. Não eletrostático:
, gera campos não conservativos.
(d) Usando o teorema de Gauss troca-se integral de superfície por volume de divergente; com Stokes troca-se integral de contorno por superfície de rotacional, permitindo passar de cada forma à outra.
(b)
(c) Eletrostático:
(d) Usando o teorema de Gauss troca-se integral de superfície por volume de divergente; com Stokes troca-se integral de contorno por superfície de rotacional, permitindo passar de cada forma à outra.