5.7 Suponha que \mathbf{E}(x, y, t)=5,0 \cos \left(\pi \times{ }_{10}{ }^{6} t-3,0 x+2,0 y\right) \mathbf{a}_{z} \mathrm{~V} / \mathrm{m}. Encontre a direção de propagação \mathbf{a}_{\mathrm{P}} \mathrm{e} \mathbf{H}(x, y, t).

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico de uma onda plana em espaço livre
\mathbf{E}(x,y,t)=5,0\cos\bigl(\pi\times10^{6}t-3,0\,x+2,0\,y\bigr)\,\mathbf{a}_{z}\\ \mathrm{V/m}
e pede (a) a direção de propagação \mathbf{a}_{P} e (b) o campo magnético \mathbf{H}(x,y,t). Vamos usar a forma de onda \cos(\omega t-\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}) e a relação \mathbf{H}=(1/\eta)\,\mathbf{a}_{P}\times\mathbf{E}.

Passo 2

Para identificar o vetor onda \mathbf{k} comparamos o argumento da cosseno com \omega t-\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}. Aqui
\omega=\pi\times10^{6},\quad -\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}=-3,0\,x+2,0\,y
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\mathbf{k}=3,0\,\mathbf{a}_{x}-2,0\,\mathbf{a}_{y}\quad(\text{rad/m}).

Passo 3

A direção de propagação é o versor \mathbf{a}_{P}=\mathbf{k}/\lVert\mathbf{k}\rVert. Como \lVert\mathbf{k}\rVert=\sqrt{3,0^{2}+(-2,0)^{2}}=\sqrt{13},
\mathbf{a}_{P}=\frac{3,0\,\mathbf{a}_{x}-2,0\,\mathbf{a}_{y}}{\sqrt{13}}.

Passo 4

Em espaço livre o campo magnético satisfaz
\mathbf{H}=\frac{1}{\eta_{0}}\;\mathbf{a}_{P}\times\mathbf{E},
com \eta_{0}=377\\ \Omega. Calculando o produto vetorial:
\mathbf{a}_{P}\times\mathbf{E} =\frac{1}{\sqrt{13}}\bigl(3\,\mathbf{a}_{x}-2\,\mathbf{a}_{y}\bigr)\times\Bigl[5\cos(\dots)\,\mathbf{a}_{z}\Bigr] =\frac{5\cos(\dots)}{\sqrt{13}}\bigl(-2\,\mathbf{a}_{x}-3\,\mathbf{a}_{y}\bigr).
Então
\mathbf{H}(x,y,t) =\frac{1}{377}\,\frac{5}{\sqrt{13}}\cos\bigl(\pi\times10^{6}t-3,0\,x+2,0\,y\bigr)\, \bigl(-2,0\,\mathbf{a}_{x}-3,0\,\mathbf{a}_{y}\bigr) \quad\mathrm{A/m}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{a}_{P}=\frac{3,0\,\mathbf{a}_{x}-2,0\,\mathbf{a}_{y}}{\sqrt{13}}, \displaystyle \mathbf{H}(x,y,t) =\frac{5}{377\,\sqrt{13}}\cos\bigl(\pi\times10^{6}t-3,0\,x+2,0\,y\bigr)\, \bigl(-2,0\,\mathbf{a}_{x}-3,0\,\mathbf{a}_{y}\bigr)\text{ A/m.}

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