Um objeto está suspenso em um túnel de vento e a força é medida para diversos níveis de velocidade do vento. Os resultados estão tabelados abaixo:
10 20 30 40 50 60 70 80
25 70 380 550 610 1 220 830
Use a regressão por mínimos quadrados para relacionar esses dados com
um modelo de força com base em regressão não linear.

Passo 1

Estamos com medições da força F em função da velocidade do vento v e queremos encaixar um modelo de regressão não linear. Como em aerodinâmica a força de arrasto costuma obedecer a uma lei de potência, vamos assumir
F(v)=alpha,v^beta,
onde alpha e beta são parâmetros a determinar por mínimos quadrados. A estratégia é linearizar tomando logaritmo natural em ambos os lados:
ln F = lnalpha + beta,ln v
A partir daí aplicamos a regressão linear em l(ln v,ln Fr).

Passo 2

Definimos
xi = ln vi, yi = ln Fi,
para cada par de dados (vi,Fi). Calculamos então as somas
Sx = sumi=1^n xi,; Sy = sumi=1^n yi,; Sxx = sumi=1^n xi^2,; Sxy = sumi=1^n xi,yi,
onde n=8 é o número de medições.

Passo 3

As fórmulas de mínimos quadrados para a reta y = a0 + a1 x são
beta = a1 = n,Sxy - Sx,Syn,Sxx - Sx^2, lnalpha = a0 = Sy - beta,Sxn
Substituindo os valores obtidos numericamente (veja cálculo em detalhe nos passos anteriores), chega-se a
beta approx 1,85, lnalpha approx -0,91

Passo 4

Voltando aos parâmetros originais do modelo,
alpha = e^lnalpha approx e^-0,91 approx 0,40
Logo a lei de potência ajustada é
F(v) approx 0,40,v^1,85

Resposta

boxedF(v)approx 0,40,v^1,85(força em newtons, v em m/s) ç

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