Sejam o complexo z=x+i y (x e y reais) e M o ponto de afixo no plano complexo § ortonormal ( \mathrm{O}, \overrightarrow{\mathrm{u}}, \overrightarrow{\mathrm{v}} ).
Designamos por \bar{z} o conjugado de z(z \neq 1), e consideramos o complexo Z tal que :
Z=\frac{Z-1}{\bar{Z}-1}
2 - Calcular a parte real e a parte imaginária de Z em função de x e y.

Passo 1

O enunciado diz que temos o número complexo \,z = x + i y com x,y\in\mathbb{R} e z\neq 1, e que se define
Z = \frac{z - 1}{\overline{z} - 1}.
Queremos encontrar \Re(Z) e \Im(Z) em função de x e y. Para isso vamos usar operações elementares com números complexos: escrita em forma a+ib, conjugação e “racionalização” de denominador.

Passo 2

Escrevemos explicitamente numerador e denominador de Z:
z - 1 = (x-1) + i\,y, \quad \overline{z} - 1 = (x-1) - i\,y.
Logo
Z = \frac{(x-1) + i\,y}{(x-1) - i\,y}.

Passo 3

Para eliminar o termo imaginário do denominador, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de (x-1)-i\,y, que é (x-1)+i\,y. Obtemos
Z = \frac{\bigl((x-1)+i\,y\bigr)\bigl((x-1)+i\,y\bigr)} {\bigl((x-1)-i\,y\bigr)\bigl((x-1)+i\,y\bigr)} = \frac{\bigl((x-1)+i\,y\bigr)^2}{(x-1)^2+y^2}.

Passo 4

Expandimos o quadrado no numerador:
\bigl((x-1)+i\,y\bigr)^2 = (x-1)^2 + 2\,i\,y\,(x-1) + (i\,y)^2 = (x-1)^2 - y^2 + 2\,i\,y\,(x-1).
Portanto
Z = \frac{(x-1)^2 - y^2}{(x-1)^2+y^2} \;+\; i\,\frac{2\,y\,(x-1)}{(x-1)^2+y^2}.

Passo 5

Da forma acima identificamos diretamente as partes real e imaginária de Z:
\Re(Z) = \frac{(x-1)^2 - y^2}{(x-1)^2 + y^2}, \qquad \Im(Z) = \frac{2\,y\,(x-1)}{(x-1)^2 + y^2}.

Resposta

\Re(Z) = \frac{(x-1)^2 - y^2}{(x-1)^2 + y^2}, \quad \Im(Z) = \frac{2\,y\,(x-1)}{(x-1)^2 + y^2}.

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