Em \mathbb{Z}[i], fatore 10 em irredutíveis.

Passo 1

O problema pede para fatorar o inteiro 10 em irredutíveis no anel dos inteiros gaussianos \mathbb{Z}[i]. Vamos usar que \mathbb{Z}[i] é UFD (domínio de fatoração única) e que a fatoração de um inteiro n neste anel se faz estudando sua fatoração em \mathbb{Z} e em seguida como cada primo racional se comporta em \mathbb{Z}[i].

Passo 2

Começamos por escrever
10 = 2 \cdot 5
e tratar separadamente a fatoração de 2 e de 5.
Para 2, buscamos algum a+bi com norma N(a+bi)=a^2+b^2=2. A única possibilidade inteira (até troca de sinal e ordem) é 1+i, pois
N(1+i) = 1^2 + 1^2 = 2.
Logo 1+i é irreduzível em \mathbb{Z}[i]. Note que também
(1+i)(1-i) = 1 - i^2 = 2,
e como 1-i = -\,i\,(1+i), concluímos que
2 = (1+i)(1-i) = -\,i\,(1+i)^2.
Portanto, até unidade, 2 = (1+i)^2.

Passo 3

Agora fatoramos 5. Procuramos a+bi com a^2+b^2=5. A solução inteira não trivial é 2+i, pois
N(2+i) = 2^2 + 1^2 = 5.
Assim 2+i é irreduzível e também
5 = (2+i)(2-i).
Nenhum desses fatores se associa a um elemento de norma 1, logo são de fato dois irredutíveis distintos.

Passo 4

Juntando as duas fatorações, temos
10 = 2\cdot5 = \bigl(-\,i\,(1+i)^2\bigr)\,\bigl((2+i)(2-i)\bigr) = -\,i\,(1+i)^2\,(2+i)\,(2-i).
Como as únicas unidades em \mathbb{Z}[i] são \pm1,\pm i, podemos ignorar o fator de unidade se quisermos a fatoração “sem unidades”:
10 = (1+i)^2\,(2+i)\,(2-i) \quad\text{(até unidade).}é

Resposta

10 = -\,i\,(1+i)^2\,(2+i)\,(2-i)
ou, desprezando a unidade,
10 = (1+i)^2\,(2+i)\,(2-i).

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