Em
, fatore 10 em irredutíveis.
Passo 1
O problema pede para fatorar o inteiro
em irredutíveis no anel dos inteiros gaussianos
. Vamos usar que
é UFD (domínio de fatoração única) e que a fatoração de um inteiro
neste anel se faz estudando sua fatoração em
e em seguida como cada primo racional se comporta em
.
Passo 2
Começamos por escrever
e tratar separadamente a fatoração de
e de
.
Para
, buscamos algum
com norma
. A única possibilidade inteira (até troca de sinal e ordem) é
, pois
Logo
é irreduzível em
. Note que também
e como
, concluímos que
Portanto, até unidade,
.
Passo 3
Agora fatoramos
. Procuramos
com
. A solução inteira não trivial é
, pois
Assim
é irreduzível e também
Nenhum desses fatores se associa a um elemento de norma 1, logo são de fato dois irredutíveis distintos.
Passo 4
Juntando as duas fatorações, temos
Como as únicas unidades em
são
, podemos ignorar o fator de unidade se quisermos a fatoração “sem unidades”:
Resposta
ou, desprezando a unidade,