Encontre a solução exata utilizando o Método da Eliminação Gaussiana com Pivoteamento Simples. Justifique TODAS as escolhas de pivô com base no algoritmo.
Obs.: Pode fazer a questão por outro método ensinado no curso, mas neste caso ela vale 4 pontos.
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas e pede a solução exata usando o Método da Eliminação Gaussiana com Pivoteamento Simples (pivoteamento parcial). Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Encontrar a solução exata (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) usando Eliminação de Gauss com Pivoteamento Simples.
Justificar TODAS as escolhas de pivô conforme o algoritmo (ou seja: em cada coluna, entre as linhas que restam, escolher como pivô o elemento de maior valor absoluto e, se necessário, trocar linhas).
Não começo a eliminar ainda — antes explico o método e o critério de escolha de pivô.]
Passo 2
Breve aula explicativa sobre o método e pivoteamento simples (didática e passo a passo):
A Eliminação de Gauss transforma o sistema em uma forma triangular superior (matriz aumentada com zeros abaixo da diagonal), aplicando operações elementares do tipo R_i \leftarrow R_i - m_{i,k} R_k, onde m_{i,k} é o multiplicador para zerar a entrada na coluna k da linha i.
Pivoteamento simples (pivoteamento parcial) significa: ao escolher o pivô na coluna k, entre as linhas k,k+1,\dots,n escolhe-se a linha cujo elemento na coluna k tem maior valor absoluto. Se essa linha não for a linha k, troca-se as duas linhas. Motivo: evitar divisões por números muito pequenos e reduzir erros numéricos; aqui também é pedido explicitamente.
Multiplicador: para zerar a entrada a_{i,k} usando pivô a_{k,k}, usa-se m_{i,k} = \dfrac{a_{i,k}}{a_{k,k}} e faz-se R_i \leftarrow R_i - m_{i,k} R_k.
Depois de obter a matriz triangular superior, usa-se retro-substituição (back substitution) para achar as incógnitas: primeiro a última equação (que contém só x_n), depois x_{n-1}, e assim por diante.
Agora aplico o método passo a passo, justificando cada escolha de pivô.
Passo 3
Escrevo a matriz aumentada inicial e escolho o pivô da primeira coluna (entre as linhas 1 a 4):
Escolha do pivô na coluna 1: comparar os valores absolutos das entradas na coluna 1 das linhas 1 a 4: |1|,|1|,|2|,|8|. O maior é |8| na linha 4. Pelo critério do pivoteamento simples, devo usar esse elemento como pivô. Então troco a linha 1 com a linha 4.
Após trocar R_1\leftrightarrow R_4 (justificado pelo critério), a matriz fica:
Agora elimino as entradas abaixo do pivô a_{11}=8 na coluna 1. Para cada linha i=2,3,4 computo o multiplicador m_{i1} = \dfrac{a_{i1}}{a_{11}} e faço R_i \leftarrow R_i - m_{i1} R_1.
Agora vou pivotar na segunda coluna considerando as linhas 2,3,4. O critério diz: escolher, entre as entradas \tfrac{13}{8},\tfrac{25}{4},\tfrac{13}{8}, a de maior valor absoluto. Em valores decimais: \tfrac{13}{8}\approx1{,}625, \tfrac{25}{4}=6{,}25, \tfrac{13}{8}\approx1{,}625. O maior absoluto é \tfrac{25}{4} na linha 3. Logo troco as linhas R_2\leftrightarrow R_3.
Após trocar R_2\leftrightarrow R_3, a matriz passa a ser
Agora consideramos a terceira coluna nas linhas 3 e 4: as entradas são \tfrac{181}{50} e -\tfrac{169}{50}. Em módulo, \tfrac{181}{50}\approx3{,}62 e \tfrac{169}{50}\approx3{,}38. O maior em módulo é \tfrac{181}{50} (linha 3), então não há troca — o pivô é a_{33}=\tfrac{181}{50}.
Eliminação na coluna 3: para R_4, o multiplicador é
Resumo das contas exatas e forma final das frações (mostro as frações já simplificadas quando possível):
x_4 = \dfrac{601}{1613}.
x_3 = -\dfrac{380281}{291953}.
x_2 = \dfrac{192765}{291953}.
x_1 = \dfrac{82174}{291953}.
(Fiz simplificações óbvias: por exemplo, x_4 tem forma reduzida \tfrac{601}{1613}. Os demais números têm denominador 291953 = 1613\cdot181 conforme aparecem na retro-substituição.)
Passo 10
Verificação rápida (numérica, só para checar a consistência): aproximando
substituindo nas equações originais obtém-se resultados numéricos que conferem com 7,-1,5,2 dentro do erro de arredondamento, o que confirma a solução exata encontrada.