[5 pontos] Considere a função abaixo, que tem uma raiz em [ 1,3 ]:
a) Encontre uma equação de Ponto Fixo (
) para
.
b) Mostre que
é adequada.
c) Encontre a raiz de
com uma precisão de
por meio da Iteração de Ponto Fixo. Considere
.
b) Mostre que
c) Encontre a raiz de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que temos.
- Nos dão a função
definida por
- Dizem que
tem uma raiz em . Note que ocorre exatamente quando o numerador se anula, isto é, quando
- O enunciado pede três coisas:
(a) encontrar uma equação de Ponto Fixoassociada a ;
(b) mostrar queé adequada (ou seja, que atende às condições para o método de iteração de ponto fixo na região considerada — normalmente: mapeia o intervalo em si e é uma contração lá);
(c) aplicar a Iteração de Ponto Fixo para encontrar a raiz com precisão, usando como critério .
Passo 2
Escolher uma forma para
(parte (a)). Vou isolar
na equação
. Uma rearranjo simples é
Logo uma escolha natural é
Isto significa que as soluções de
são exatamente pontos fixos de
: se
é raiz de
, então
.
Passo 3
Explicar o que significa “g é adequada” e a estratégia para mostrar isso (parte (b)).
Para o método de iteração de ponto fixo, uma condição conveniente suficiente para garantir convergência a partir de qualquer no intervalo
é:
Para o método de iteração de ponto fixo, uma condição conveniente suficiente para garantir convergência a partir de qualquer
-
é contínua em ; -
(ou seja, mapeia o intervalo nele mesmo); - existe
tal que para todo . Nesse caso é uma contração e a iteração converge para o único ponto fixo em .
Vou verificar essas condições para o intervalo dado
e para a função
.
Passo 4
Verificar continuidade e imagem do intervalo por
.
-
A função
é composta por soma e raiz cúbica, ambas contínuas em , então é contínua em . -
Calcular os extremos
e (peguei esses valores de avaliação direta):
Portanto os valores de
em
ficam entre
e
, isto é
Logo
de fato mapeia
em si (mais precisamente em um subintervalo contido).
Passo 5
Calcular a derivada
e obter um cota
(continuação da parte (b)).
- Derivando
obtemos, por regra da cadeia,
- Para obter um cota máxima de
em , note que é crescente, portanto o expoente negativo é decrescente; o máximo de ocorre no menor valor de , que é em . Assim
- Vamos estimar numericamente esse
. Como então . Logo
- Observação:
. Assim em . Isso mostra que é uma contração em .
Conclusão da parte (b):
é contínua, mapeia
em si e é uma contração com constante
. Portanto
é adequada: a iteração de ponto fixo converge para o único ponto fixo em
.
Passo 6
Preparar a iteração e escolher
(parte (c)).
Vou aplicar a iteração de ponto fixo
Vou aplicar a iteração de ponto fixo
com critério de parada
. Escolho como ponto inicial
(está no intervalo
e geralmente converge rápido para essa
).
Vou mostrar passo a passo os primeiros iterados e os
até que
.
Passo 7
Cálculo dos iterados (vou mostrar os valores com 8 casas decimais, detalhando cada
).
-
. -
Calcular
.
- Calcular
.
Aplicando a fórmula da raiz cúbica (ou Newton para a raiz cúbica) obtemos
- Calcular
:
- Calcular
:
- Calcular
.
Usando um passo de Newton para melhorar a precisão da raiz cúbica:
- Calcular
:
- Calcular
:
Passo 8
Verificação do critério de parada e interpretação.
-
O critério é
. Observamos que . Portanto a iteração deve ser interrompida em (ou seja, o primeiro com é ). -
A aproximação final da raiz, segundo o critério pedido, é
. Pelo Teorema do Ponto Fixo (já que é contração com ), essa iteração converge linearmente e a aproximação é confiável.
Passo 9
Comentário sobre erro real e garantia: pela desigualdade de contração tem-se também estimativas como
onde
é o ponto fixo verdadeiro. Com
e
obtém-se um erro real estimado da ordem de
, compatível com a precisão requerida
.
Resposta
(a)
(b)
é adequada em
:
é contínua,
e
, logo é uma contração.
(c) Usando
com
e critério
, obtém-se a raiz aproximada