\mathbf{1} [5 pontos] Considere a função abaixo, que tem uma raiz em [ 1,3 ]:
f(x)=\frac{x^{3}-2 x-3}{e^{x}}
a) Encontre uma equação de Ponto Fixo ( g(x) ) para f(x).
b) Mostre que g(x) é adequada.
c) Encontre a raiz de f(x) com uma precisão de 10^{-5} por meio da Iteração de Ponto Fixo. Considere \epsilon_{n}=\left|p_{n}-p_{n-1}\right|.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Nos dão a função f definida por
f(x)=\frac{x^{3}-2x-3}{e^{x}}.
  • Dizem que f tem uma raiz em [1,3]. Note que f(x)=0 ocorre exatamente quando o numerador se anula, isto é, quando
x^{3}-2x-3=0.
  • O enunciado pede três coisas:
    (a) encontrar uma equação de Ponto Fixo g(x) associada a f(x);
    (b) mostrar que g(x) é adequada (ou seja, que atende às condições para o método de iteração de ponto fixo na região considerada — normalmente: g mapeia o intervalo em si e é uma contração lá);
    (c) aplicar a Iteração de Ponto Fixo para encontrar a raiz com precisão 10^{-5}, usando como critério \epsilon_{n}=\left|p_{n}-p_{n-1}\right|.

Passo 2

Escolher uma forma para g(x) (parte (a)). Vou isolar x na equação x^{3}-2x-3=0. Uma rearranjo simples é
x^{3}=2x+3 \quad\Longrightarrow\quad x=\sqrt[3]{2x+3}.
Logo uma escolha natural é
g(x)=\sqrt[3]{2x+3}.
Isto significa que as soluções de f(x)=0 são exatamente pontos fixos de g: se r é raiz de f, então r=g(r).

Passo 3

Explicar o que significa “g é adequada” e a estratégia para mostrar isso (parte (b)).
Para o método de iteração de ponto fixo, uma condição conveniente suficiente para garantir convergência a partir de qualquer p_0 no intervalo [a,b] é:
  1. g é contínua em [a,b];
  2. g([a,b])\subseteq[a,b] (ou seja, g mapeia o intervalo nele mesmo);
  3. existe k\in[0,1) tal que |g'(x)|\le k para todo x\in[a,b]. Nesse caso g é uma contração e a iteração converge para o único ponto fixo em [a,b].
Vou verificar essas condições para o intervalo dado [1,3] e para a função g(x)=\sqrt[3]{2x+3}.

Passo 4

Verificar continuidade e imagem do intervalo por g.
  • A função g(x)=\sqrt[3]{2x+3} é composta por soma e raiz cúbica, ambas contínuas em \mathbb{R}, então g é contínua em [1,3].
  • Calcular os extremos g(1) e g(3) (peguei esses valores de avaliação direta):
    g(1)=\sqrt[3]{2\cdot 1+3}=\sqrt[3]{5}\approx 1,7099759,
g(3)=\sqrt[3]{2\cdot 3+3}=\sqrt[3]{9}\approx 2,0800838.
Portanto os valores de g em [1,3] ficam entre \sqrt[3]{5} e \sqrt[3]{9}, isto é
g([1,3])\subseteq\left[\sqrt[3]{5},\sqrt[3]{9}\right]\subseteq[1,3].
Logo g de fato mapeia [1,3] em si (mais precisamente em um subintervalo contido).

Passo 5

Calcular a derivada g'(x) e obter um cota k<1 (continuação da parte (b)).
  • Derivando g(x)=\left(2x+3\right)^{1/3} obtemos, por regra da cadeia,
g'(x)=\frac{1}{3}\left(2x+3\right)^{-2/3}\cdot 2=\frac{2}{3}\,(2x+3)^{-2/3}.
  • Para obter um cota máxima de |g'(x)| em [1,3], note que 2x+3 é crescente, portanto o expoente negativo (2x+3)^{-2/3} é decrescente; o máximo de |g'(x)| ocorre no menor valor de 2x+3, que é em x=1. Assim
\max_{x\in[1,3]}|g'(x)| = g'(1)=\frac{2}{3}\,(2\cdot1+3)^{-2/3}=\frac{2}{3}\cdot 5^{-2/3}.
  • Vamos estimar numericamente esse k. Como 5^{1/3}\approx 1,7099759 então 5^{2/3}=(5^{1/3})^{2}\approx 1,7099759^{2}\approx 2,9240177. Logo
k:=\frac{2}{3}\,5^{-2/3}\approx\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2,9240177}\approx\frac{2}{3}\cdot 0,341995\approx 0,227996.
  • Observação: k\approx 0,227996<1. Assim |g'(x)|\le k<1 em [1,3]. Isso mostra que g é uma contração em [1,3].
Conclusão da parte (b): g é contínua, mapeia [1,3] em si e é uma contração com constante k\approx 0,228<1. Portanto g é adequada: a iteração de ponto fixo converge para o único ponto fixo em [1,3].

Passo 6

Preparar a iteração e escolher p_{0} (parte (c)).
Vou aplicar a iteração de ponto fixo
p_{n+1}=g(p_n)=\sqrt[3]{2p_n+3},
com critério de parada \epsilon_n=|p_n-p_{n-1}|<10^{-5}. Escolho como ponto inicial p_0=2 (está no intervalo [1,3] e geralmente converge rápido para essa g).
Vou mostrar passo a passo os primeiros iterados e os \epsilon_n até que \epsilon_n<10^{-5}.

Passo 7

Cálculo dos iterados (vou mostrar os valores com 8 casas decimais, detalhando cada \epsilon_n).
  • p_0=2.
  • Calcular p_1=g(p_0)=\sqrt[3]{2\cdot2+3}=\sqrt[3]{7}.
    p_1\approx 1,91293118.
\epsilon_1=|p_1-p_0|\approx|1,91293118-2|=0,08706882.
  • Calcular p_2=g(p_1)=\sqrt[3]{2p_1+3}=\sqrt[3]{2\cdot1,91293118+3}=\sqrt[3]{6,82586236}.
    Aplicando a fórmula da raiz cúbica (ou Newton para a raiz cúbica) obtemos p_2\approx 1,89702070.
\epsilon_2=|p_2-p_1|\approx|1,89702070-1,91293118|=0,01591048.
  • Calcular p_3=g(p_2)=\sqrt[3]{2\cdot1,89702070+3}=\sqrt[3]{6,79404140}: p_3\approx 1,89428072.
\epsilon_3=|p_3-p_2|\approx 0,00273998.
  • Calcular p_4=g(p_3)=\sqrt[3]{2\cdot1,89428072+3}=\sqrt[3]{6,78856144}: p_4\approx 1,89342070.
\epsilon_4=|p_4-p_3|\approx 0,00086002.
  • Calcular p_5=g(p_4)=\sqrt[3]{2\cdot1,89342070+3}=\sqrt[3]{6,78684140}.
    Usando um passo de Newton para melhorar a precisão da raiz cúbica: p_5\approx 1,89331382.
\epsilon_5=|p_5-p_4|\approx 0,00010688.
  • Calcular p_6=g(p_5)=\sqrt[3]{2\cdot1,89331382+3}=\sqrt[3]{6,78662764}: p_6\approx 1,89329361.
\epsilon_6=|p_6-p_5|\approx 0,00002021.
  • Calcular p_7=g(p_6)=\sqrt[3]{2\cdot1,89329361+3}=\sqrt[3]{6,78658722}: p_7\approx 1,89328997.
\epsilon_7=|p_7-p_6|\approx 0,00000364.

Passo 8

Verificação do critério de parada e interpretação.
  • O critério é \epsilon_n<10^{-5}. Observamos que \epsilon_7\approx 3{,}64\times10^{-6}<10^{-5}. Portanto a iteração deve ser interrompida em n=7 (ou seja, o primeiro n com \epsilon_n<10^{-5} é n=7).
  • A aproximação final da raiz, segundo o critério pedido, é p_7\approx 1{,}89328997. Pelo Teorema do Ponto Fixo (já que g é contração com k\approx 0{,}228), essa iteração converge linearmente e a aproximação é confiável.

Passo 9

Comentário sobre erro real e garantia: pela desigualdade de contração tem-se também estimativas como
|p_n - r|\le \frac{k}{1-k}\,|p_n-p_{n-1}|,
onde r é o ponto fixo verdadeiro. Com k\approx 0{,}228 e |p_7-p_6|\approx 3{,}64\times10^{-6} obtém-se um erro real estimado da ordem de 10^{-6}, compatível com a precisão requerida 10^{-5}.

Resposta

(a) g(x)=\sqrt[3]{2x+3}.
(b) g é adequada em [1,3]: g é contínua, g([1,3])\subseteq[\sqrt[3]{5},\sqrt[3]{9}]\subset[1,3] e |g'(x)|=\dfrac{2}{3}(2x+3)^{-2/3}\le \dfrac{2}{3}5^{-2/3}\approx 0{,}227996<1, logo é uma contração.
(c) Usando p_{n+1}=g(p_n) com p_0=2 e critério \epsilon_n=|p_n-p_{n-1}|<10^{-5}, obtém-se a raiz aproximada
p_7\approx 1{,}89328997.

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