Use o Método de Gauss-Seidel para encontrar a solução do Sistema Linear de Equações abaixo.
\left\{\begin{array}{l} 3 x_{1}-6 x_{2}=6 \\\\ 4 x_{1}+1 x_{2}=2 \end{array}\right.
Primeiro, manipule o Sistema para que seja Diagonalmente Dominante. Encontre a solução com uma precisão de 10^{-1} utilizando \vec{x}^{(0)}=(0.5,-0.5). Considere o erro absoluto.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} 3 x_{1}-6 x_{2}=6,\\[4pt] 4 x_{1}+1 x_{2}=2, \end{array}\right.
e pede que se use o Método de Gauss-Seidel para encontrar a solução com precisão 10^{-1} (isto é, erro absoluto menor que 0,1), partindo de \vec{x}^{(0)}=(0,5,-0,5). Também pede que o sistema seja primeiro manipulado para que seja diagonalmente dominantes. Vou considerar como critério de parada o máximo absoluto das diferenças entre componentes sucessivas, isto é, parar quando
\max\bigl(|x_{1}^{(k+1)}-x_{1}^{(k)}|,\;|x_{2}^{(k+1)}-x_{2}^{(k)}|\bigr)<0,1.]

Passo 2

Manipular o sistema para ser diagonalmente dominante (ou seja, para cada linha o valor absoluto do coeficiente diagonal deve ser maior ou igual à soma dos demais coeficientes absolutos daquela linha).
As equações originais são
\begin{array}{rcl} 3 x_{1}-6 x_{2} &=& 6,\\[4pt] 4 x_{1}+1 x_{2} &=& 2. \end{array}
Se trocarmos a ordem das equações (isso não altera o conjunto de soluções) obtemos
\begin{array}{rcl} 4 x_{1}+1 x_{2} &=& 2,\\[4pt] 3 x_{1}-6 x_{2} &=& 6. \end{array}
Agora os coeficientes diagonais são 4 e -6. Verificando a dominância por linha:
|4|\ge |1|\quad\text{(verdadeiro)},\qquad |{-6}|\ge|3|\quad\text{(verdadeiro)}.
Portanto, após a troca de linhas o sistema fica diagonalmente dominante, o que favorece a convergência do método iterativo.]

Passo 3

Derivar as fórmulas de iteração do Método de Gauss-Seidel.
Para a primeira equação (agora a de cima) isolamos x_{1}:
4x_{1}+1x_{2}=2 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=\frac{2-x_{2}}{4}.
Para a segunda equação isolamos x_{2}:
3x_{1}-6x_{2}=6 \quad\Rightarrow\quad -6x_{2}=6-3x_{1} \quad\Rightarrow\quad x_{2}=\frac{3x_{1}-6}{6}.
No método de Gauss-Seidel, ao calcular a iteração k+1 usa-se imediatamente o valor atualizado de x_{1}^{(k+1)} para obter x_{2}^{(k+1)}. Assim as fórmulas iterativas são
x_{1}^{(k+1)}=\frac{2-x_{2}^{(k)}}{4}, \qquad x_{2}^{(k+1)}=\frac{3x_{1}^{(k+1)}-6}{6}.
Explicando as variáveis: x_{i}^{(k)} é o valor aproximado da i-ésima componente no passo k. O índice k+1 indica a nova iteração que estamos calculando.

Passo 4

Aplicar as fórmulas a partir de \vec{x}^{(0)}=(0,5,-0,5) e verificar o critério de parada pedido.
Iteração 1 ( k=0 \to k+1=1):
x_{1}^{(1)}=\frac{2-x_{2}^{(0)}}{4}=\frac{2-(-0,5)}{4}=\frac{2,5}{4}=0,625.
x_{2}^{(1)}=\frac{3x_{1}^{(1)}-6}{6}=\frac{3\cdot0,625-6}{6}=\frac{1,875-6}{6}=\frac{-4,125}{6}=-0,6875.
Diferenças absolutas:
|x_{1}^{(1)}-x_{1}^{(0)}|=|0,625-0,5|=0,125, \qquad |x_{2}^{(1)}-x_{2}^{(0)}|=|-0,6875-(-0,5)|=0,1875.
O máximo é 0,1875, ainda maior que 0,1. Continuamos.
Iteração 2 ( k=1 \to k+1=2):
x_{1}^{(2)}=\frac{2-x_{2}^{(1)}}{4}=\frac{2-(-0,6875)}{4}=\frac{2,6875}{4}=0,671875.
x_{2}^{(2)}=\frac{3x_{1}^{(2)}-6}{6}=\frac{3\cdot0,671875-6}{6}=\frac{2,015625-6}{6}=\frac{-3,984375}{6}=-0,6640625.
Diferenças absolutas:
|x_{1}^{(2)}-x_{1}^{(1)}|=|0,671875-0,625|=0,046875,
|x_{2}^{(2)}-x_{2}^{(1)}|=|-0,6640625-(-0,6875)|=0,0234375.
O máximo é 0,046875, que é menor que 0,1. Portanto o critério de parada (erro absoluto máximo < 0,1) foi satisfeito após a segunda iteração.

Passo 5

Interpretação final: a aproximação obtida que satisfaz a precisão pedida é
x_{1}^{(2)}=0,671875,\qquad x_{2}^{(2)}=-0,6640625.
Como a precisão exigida foi 10^{-1} ( 0,1), podemos arredondar cada componente a uma casa decimal para apresentar a solução com a precisão solicitada:
x_{1}\approx0,7,\qquad x_{2}\approx-0,7.
Bom trabalho! Você já tem a aproximação dentro do erro pedido; dá para continuar mais iterações se quiser maior precisão.

Resposta

x_{1}=0,7
x_{2}=-0,7

Exercícios relacionados