Se \mathbf{A}=(2 y+3) \mathbf{i}+x z \mathbf{j}+(y z-x) \mathbf{k}, calcular \int_{C} \mathbf{A} \cdot d \mathbf{r} ao longo dos seguintes trajetos C :
(c) a reta que liga (0,0,0) a (2,1,1).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{A}(x,y,z) = (2y+3)\,\mathbf{i} \;+\; xz\,\mathbf{j} \;+\; (yz - x)\,\mathbf{k}
e pede a integral de linha
\int_{C} \mathbf{A}\cdot d\mathbf{r}
ao longo da reta que liga (0,0,0) a (2,1,1).
O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial, que usamos por meio da parametrização \mathbf{r}(t) e da fórmula
\int_{C}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r} =\int_{t=a}^{t=b}\mathbf{A}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.

Passo 2

Parametrizamos a reta de (0,0,0) a (2,1,1) por
\mathbf{r}(t) = (2t,\;t,\;t), \quad t\in[0,1].
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\mathbf{r}'(t) = (2,1,1).

Passo 3

Substituímos \mathbf{r}(t) em \mathbf{A}(x,y,z). Como x=2t, y=t, z=t, temos
\mathbf{A}(\mathbf{r}(t)) = \bigl(2t+3,\;2t^2,\;t^2-2t\bigr).

Passo 4

O produto escalar \mathbf{A}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) é
(2t+3)\cdot2 \;+\; 2t^2\cdot1 \;+\;(t^2-2t)\cdot1 =4t+6 +2t^2 +t^2-2t =3t^2+2t+6.

Passo 5

Agora integramos de t=0 a t=1:
\int_{0}^{1}(3t^2+2t+6)\,dt =\Bigl[t^3 + t^2 +6t\Bigr]_{0}^{1} =1+1+6=8.

Resposta

8

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