\mathbf{5}^{\circ} ) Questão ( 17,5 ptos, onde cada item vale 3,5 ptos). Resolva as seguintes edos com as substituições adequadas: y^{\prime}=(-2 x+y)^{2}-7.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = (-2x + y)^2 - 7
usando uma substituição adequada. O conteúdo é reconhecimento de uma combinação linear u = y - 2x que reduz a EDO a uma forma separável.
Passo 2
Definimos a substituição
u = y - 2x.
Então, derivando em relação a x, temos
u' = \frac{du}{dx} = y' - 2.
Passo 3
Na EDO original, y' = (y - 2x)^2 -7. Como y - 2x = u, substituímos e obtemos
y' = u^2 -7.
Logo
u' = y' - 2 = (u^2 - 7) - 2 = u^2 - 9.
Então a EDO em u fica
\frac{du}{dx} = u^2 - 9.
Passo 4
A EDO \frac{du}{dx} = u^2 - 9 é separável. Escrevemos
\frac{du}{u^2 - 9} = dx.
Passo 5
Integramos ambos os lados. Primeiro, decompondo em frações parciais:
Para simplificar, abraçamos o sinal em K e escrevemos
\frac{u-3}{u+3} = K e^{6x}.
Resolvendo para u:
u-3 = (u+3)\,K e^{6x} \quad\Longrightarrow\quad u\bigl(1 - K e^{6x}\bigr) = 3\bigl(1 + K e^{6x}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad u = 3\,\frac{1 + K e^{6x}}{1 - K e^{6x}}.
Passo 7
Voltando à variável original, lembramos que u = y - 2x. Logo
y - 2x = 3\,\frac{1 + K e^{6x}}{1 - K e^{6x}} \quad\Longrightarrow\quad y = 2x + 3\,\frac{1 + K e^{6x}}{1 - K e^{6x}},
onde K é constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da EDO é
\boxed{y(x) = 2x + 3\,\frac{1 + K e^{6x}}{1 - K e^{6x}},}