\mathbf{5}^{\circ} ) Questão ( 17,5 ptos, onde cada item vale 3,5 ptos). Resolva as seguintes edos com as substituições adequadas:
y^{\prime}=(-2 x+y)^{2}-7.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = (-2x + y)^2 - 7
usando uma substituição adequada. O conteúdo é reconhecimento de uma combinação linear u = y - 2x que reduz a EDO a uma forma separável.

Passo 2

Definimos a substituição
u = y - 2x.
Então, derivando em relação a x, temos
u' = \frac{du}{dx} = y' - 2.

Passo 3

Na EDO original, y' = (y - 2x)^2 -7. Como y - 2x = u, substituímos e obtemos
y' = u^2 -7.
Logo
u' = y' - 2 = (u^2 - 7) - 2 = u^2 - 9.
Então a EDO em u fica
\frac{du}{dx} = u^2 - 9.

Passo 4

A EDO \frac{du}{dx} = u^2 - 9 é separável. Escrevemos
\frac{du}{u^2 - 9} = dx.

Passo 5

Integramos ambos os lados. Primeiro, decompondo em frações parciais:
\frac{1}{u^2 - 9} = \frac{1}{6}\Bigl(\frac{1}{u-3} - \frac{1}{u+3}\Bigr).
Logo
\int \frac{du}{u^2 - 9} = \frac{1}{6}\int \Bigl(\frac{1}{u-3} - \frac{1}{u+3}\Bigr)\,du = \frac{1}{6}\ln\Bigl|\frac{u-3}{u+3}\Bigr| + C_1.
E do outro lado
\int dx = x + C_2.
Reunindo as constantes em uma só C, obtemos
\frac{1}{6}\ln\Bigl|\frac{u-3}{u+3}\Bigr| = x + C.

Passo 6

Isolamos a razão e definimos K = e^{6C}:
\ln\Bigl|\frac{u-3}{u+3}\Bigr| = 6x + 6C \quad\Longrightarrow\quad \Bigl|\frac{u-3}{u+3}\Bigr| = Ke^{6x}.
Para simplificar, abraçamos o sinal em K e escrevemos
\frac{u-3}{u+3} = K e^{6x}.
Resolvendo para u:
u-3 = (u+3)\,K e^{6x} \quad\Longrightarrow\quad u\bigl(1 - K e^{6x}\bigr) = 3\bigl(1 + K e^{6x}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad u = 3\,\frac{1 + K e^{6x}}{1 - K e^{6x}}.

Passo 7

Voltando à variável original, lembramos que u = y - 2x. Logo
y - 2x = 3\,\frac{1 + K e^{6x}}{1 - K e^{6x}} \quad\Longrightarrow\quad y = 2x + 3\,\frac{1 + K e^{6x}}{1 - K e^{6x}},
onde K é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da EDO é
\boxed{y(x) = 2x + 3\,\frac{1 + K e^{6x}}{1 - K e^{6x}},}
para constante K\in\mathbb{R}.

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