\mathbf{6}^{\circ} ) Questão (4, 2 ptos).
Verifique se \left\{1+t, t^{2}, t^{3}\right\} formam um conjunto fundamental de soluções da edo
t^{2}(t+3) y^{\prime \prime \prime}-3 t(t+2) y^{\prime \prime}+6(1+t) y^{\prime}-6 y=0 .

Passo 1

O enunciado dá a EDO
t^{2}(t+3)\,y^{\prime\prime\prime}-3\,t(t+2)\,y^{\prime\prime}+6(1+t)\,y^{\prime}-6\,y=0
e pede para verificar se \{1+t,\\ t^{2},\\ t^{3}\} é um conjunto fundamental de soluções. Para isso precisamos mostrar:
  1. Cada \,y_i\in\{1+t,\;t^2,\;t^3\} satisfaz a EDO.
  2. Essas três soluções são linearmente independentes num intervalo onde a EDO é regular (isto é, para t\neq0 e t\neq-3).

Passo 2

Substituímos cada candidato na EDO usando L[y]=t^{2}(t+3)y'''\!-\!3t(t+2)y''+6(1+t)y'\!-\!6y.
  • Para y=1+t:
    \,y'=1,\;y''=0,\;y'''=0 L[1+t]=6(1+t)\cdot1-6(1+t)=0.
  • Para y=t^2:
    \,y'=2t,\;y''=2,\;y'''=0 L[t^2]=-3t(t+2)\cdot2+6(1+t)\cdot2t-6t^2 =-6t^2-12t+12t+12t^2-6t^2=0.
  • Para y=t^3:
    \,y'=3t^2,\;y''=6t,\;y'''=6 L[t^3]=t^2(t+3)\cdot6-3t(t+2)\cdot6t+6(1+t)\cdot3t^2-6t^3 =0.
Em todos os casos L[y]=0, logo são soluções.

Passo 3

Calculamos o Wronskiano
W(t)= \begin{vmatrix} 1+t & t^2 & t^3\\\\ 1 & 2t & 3t^2\\\\ 0 & 2 & 6t \end{vmatrix} =2\,t^2\,(t+3).
Como W(t)\neq0 para t\neq0 e t\neq-3, as soluções são linearmente independentes nesses intervalos.

Passo 4

Concluindo, em qualquer intervalo onde t\neq0 e t\neq-3 as três soluções são independentes e satisfazem a EDO, logo formam um conjunto fundamental.

Resposta

Sim, \{1+t,\;t^{2},\;t^{3}\} é um conjunto fundamental de soluções da EDO.

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