\mathbf{3}^{\circ} ) Questão ( 9,0 ptos, onde cada item vale 3,0 ptos). Resolva as seguintes edos com as substituições u dadas:
x y^{\prime \prime}+y^{\prime}=1, \operatorname{com} x>0, \operatorname{com} u=y^{\prime}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x\,y'' + y' = 1,\quad x>0
fazendo a mudança de variável u = y'. Isso transforma a segunda ordem em uma equação de primeira ordem em u(x).

Passo 2

Como u = y', temos y'' = \frac{du}{dx}. Substituindo na EDO original:
x\,\frac{du}{dx} + u = 1.
Essa é uma EDO linear de primeira ordem no formato
\frac{du}{dx} + \frac{1}{x}\,u = \frac{1}{x}.
O fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int \frac{1}{x}\,dx\Bigr) = x.
Multiplicando toda a equação por x obtém-se
x\,\frac{du}{dx} + u = \frac{d}{dx}\bigl(x\,u\bigr) = 1.
Integramos em relação a x:
x\,u = \int 1\,dx = x + C_{1} \quad\Longrightarrow\quad u = 1 + \frac{C_{1}}{x}.

Passo 3

Voltando a y, temos
y' = u = 1 + \frac{C_{1}}{x}.
Integramos para achar y(x):
y(x) = \int\Bigl(1 + \frac{C_{1}}{x}\Bigr)\,dx = x + C_{1}\,\ln x + C_{2},
onde C_{1} e C_{2} são constantes de integração.

Resposta

y(x) = x + C_{1}\,\ln x + C_{2}.

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