\mathbf{4}^{\circ} ) Questão (4, 0 ptos).
Dada a edo de 1^{o} ordem
y^{\prime}=F\left(\frac{a_{1} x+b_{1} y+c_{1}}{a_{2} x+b_{2} y+c_{2}}\right)(\mathbf{I}), \text { com } a_{i}, b_{i}, c_{i} \in \mathbb{R} \text { e } c_{1} \neq 0 \text { ou } c_{2} \neq 0 .
Partindo do fato de que
\operatorname{det}\left[\begin{array}{ll} a_{1} & b_{1} \\\ a_{2} & b_{2} \end{array}\right] \neq 0 \text { e }\left(x_{1}, y_{1}\right) \text { seja solução de }\left\{\begin{array}{l} a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0 \\\ a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0 \end{array},\right.çã
então, com as substituições x=u+x_{0} e y=v+y_{0} prove que ( \mathbf{I} ) pode ser dada por
\frac{d v}{d u}=F\left(\frac{a_{1} u+b_{1} v}{a_{2} u+b_{2} v}\right) \text { uma edo homogênea. }ê
E finalize a questão, resolvendo a edo
y^{\prime}=\frac{2 x-3 y-1}{3 x+y-2}
Obs: A nível de curiosidade, quando
\operatorname{det}\left[\begin{array}{ll} a_{1} & b_{1} \\\ a_{2} & b_{2} \end{array}\right]=0, \text { considere a mudança } u=a_{1} x+b_{1} y .ç

Passo 1

O enunciado trata de equações de primeira ordem da forma
y' \;=\; F\!\bigl(\tfrac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}\bigr)
com \det\bigl[\begin{smallmatrix}a_{1}&b_{1}\a_{2}&b_{2}\end{smallmatrix}\bigr]\neq0\). Queremos mostrar que, ao escolher \((x_{0},y_{0})\) solução do sistema \[\begin{cases} a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0,\\\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0, \end{cases}
e fazer x=u+x_{0}\], \(y=v+y_{0}, a EDO torna-se
\frac{dv}{du}=F\!\bigl(\tfrac{a_{1}u+b_{1}v}{a_{2}u+b_{2}v}\bigr),
isto é, homogênea em (u,v). Em seguida, resolveremos o caso
y'=\frac{2x-3y-1}{3x+y-2}.

Passo 2

Seja (x_{0},y_{0}) tal que
a_{1}x_{0}+b_{1}y_{0}+c_{1}=0, \quad a_{2}x_{0}+b_{2}y_{0}+c_{2}=0.
Substituindo
x=u+x_{0},\quad y=v+y_{0},
temos
a_{1}x+b_{1}y+c_{1} =a_{1}(u+x_{0})+b_{1}(v+y_{0})+c_{1} =a_{1}u+b_{1}v
e, analogamente, a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=a_{2}u+b_{2}v. Como
\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dv}{du}, a EDO fica
\frac{dv}{du} =F\!\Bigl(\tfrac{a_{1}u+b_{1}v}{a_{2}u+b_{2}v}\Bigr),
que é uma EDO homogênea.

Passo 3

No caso específico
y'=\frac{2x-3y-1}{3x+y-2},
resolvemos primeiro
\begin{cases} 2x-3y-1=0,\\\\ 3x+y-2=0. \end{cases}
Da segunda vem y=2-3x. Substituindo na primeira:
2x-3(2-3x)-1=0 \;\Rightarrow\; 2x-6+9x-1=0 \;\Rightarrow\; 11x=7 \;\Rightarrow\; x_{0}=\tfrac{7}{11}, \quad y_{0}=2-3\cdot\tfrac{7}{11}=\tfrac{1}{11}.

Passo 4

Fazendo
x=u+\tfrac{7}{11},\quad y=v+\tfrac{1}{11},
obtém-se
\frac{dv}{du} =\frac{2u-3v}{3u+v}.

Passo 5

A EDO
\frac{dv}{du} =\frac{2u-3v}{3u+v}
é homogênea. Usamos a substituição v=zu, logo
\frac{dv}{du}=z+u\frac{dz}{du},
e a equação vira
z+u\frac{dz}{du} =\frac{2-3z}{3+z}.
Isolando dz/du:
u\frac{dz}{du} =\frac{2-3z}{3+z}-z =\frac{2-3z -z(3+z)}{3+z} =\frac{2-6z -z^2}{3+z} =-\frac{z^2+6z-2}{3+z}.

Passo 6

Separamos variáveis:
\frac{3+z}{z^2+6z-2}\,dz =-\frac{du}{u}.
Fazendo t=z+3 temos dt=dz e z^2+6z-2=t^2-11, então
\int\frac{3+z}{z^2+6z-2}\,dz =\int\frac{t}{t^2-11}\,dt =\tfrac12\ln\bigl|t^2-11\bigr|+C =\tfrac12\ln\bigl|z^2+6z-2\bigr|+C.
Logo
\tfrac12\ln\bigl|z^2+6z-2\bigr| =-\ln|u|+C' \;\Longrightarrow\; z^2+6z-2=C\,u^{-2}.

Passo 7

Voltando a v e u (onde z=v/u),
\Bigl(\tfrac{v}{u}\Bigr)^2+6\frac{v}{u}-2 =C\,u^{-2} \;\Longrightarrow\; v^2+6uv-2u^2=C.
Retornando x,y: u=x-\tfrac{7}{11}, v=y-\tfrac{1}{11}, a solução geral em forma implícita é
\bigl(y-\tfrac{1}{11}\bigr)^{2} +6\bigl(x-\tfrac{7}{11}\bigr)\bigl(y-\tfrac{1}{11}\bigr) -2\bigl(x-\tfrac{7}{11}\bigr)^{2} =C,
com C constante arbitrária.

Resposta

\boxed{ \bigl(y-\tfrac{1}{11}\bigr)^{2} +6\bigl(x-\tfrac{7}{11}\bigr)\bigl(y-\tfrac{1}{11}\bigr) -2\bigl(x-\tfrac{7}{11}\bigr)^{2} =C. }

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