\mathbf{2}^{\circ} ) Questão ( 9,0 ptos, onde cada item vale 3,0 ptos). Dadas as equações diferenciais ordinárias com pvi:
y^{\prime}+y=2 e^{x}, \operatorname{com} y(0)=1.
Então encontre, para cada caso y_{n}, e após isto
y=\lim _{n \rightarrow \infty} y_{n} .

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial linear de primeira ordem
y'(x) + y(x) = 2e^{x},\qquad y(0)=1
e pede para construir as aproximações sucessivas y_{n} (método de Picard) e depois calcular
\lim_{n\to\infty}y_{n}(x).

Passo 2

Reescrevemos a EDO como uma equação integral:
y(x)=1+\int_{0}^{x}\bigl(2e^{t}-y(t)\bigr)\,dt.
A partir de uma função inicial y_{0}(x) definimos
y_{n+1}(x)=1+\int_{0}^{x}\bigl(2e^{t}-y_{n}(t)\bigr)\,dt.

Passo 3

Escolhemos a aproximação inicial constante
\;y_{0}(x)=1.
Então
y_{1}(x) =1+\int_{0}^{x}\bigl(2e^{t}-1\bigr)\,dt =1+\bigl[2(e^{t}-1)-t\bigr]_{0}^{x} =2e^{x}-1 - x.

Passo 4

Agora
2e^{t}-y_{1}(t) =2e^{t}-\bigl(2e^{t}-1 - t\bigr) =1+t,
logo
y_{2}(x) =1+\int_{0}^{x}(1+t)\,dt =1+\Bigl[t+\tfrac{t^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{x} =1+x+\tfrac{x^{2}}{2}.

Passo 5

Em seguida
2e^{t}-y_{2}(t) =2e^{t}-\bigl(1+t+\tfrac{t^{2}}{2}\bigr) =2e^{t}-1 - t - \tfrac{t^{2}}{2},
e
y_{3}(x) =1+\int_{0}^{x}\bigl(2e^{t}-1 - t - \tfrac{t^{2}}{2}\bigr)\,dt =2e^{x}-1 - x - \tfrac{x^{2}}{2} - \tfrac{x^{3}}{6}.

Passo 6

Observando os padrões por indução, para m\ge0:
y_{2m}(x) =\sum_{k=0}^{2m}\frac{x^{k}}{k!}, \qquad y_{2m+1}(x) =2e^{x}-\sum_{k=0}^{2m+1}\frac{x^{k}}{k!}.

Passo 7

Como
\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}\to e^{x}
quando n\to\infty, segue que tanto y_{2m}(x) como y_{2m+1}(x) tendem a e^{x}. Portanto
\lim_{n\to\infty}y_{n}(x)=e^{x}.

Resposta

Para n=2m:
y_{2m}(x)=\sum_{k=0}^{2m}\frac{x^{k}}{k!},
para n=2m+1:
y_{2m+1}(x)=2e^{x}-\sum_{k=0}^{2m+1}\frac{x^{k}}{k!},
e
y(x)=\lim_{n\to\infty}y_{n}(x)=e^{x}.

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