\mathbf{2}^{\circ} ) Questão ( 9,0 ptos, onde cada item vale 3,0 ptos). Dadas as equações diferenciais ordinárias com pvi:
y^{\prime}-2 x(y+1)=0, \operatorname{com} y(0)=0.
Então encontre, para cada caso y_{n}, e após isto
y=\lim _{n \rightarrow \infty} y_{n} .

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial
y' - 2x\,(y+1)=0,\quad y(0)=0,
que podemos reescrever como
y'(x)=2x\bigl(y(x)+1\bigr).
O conteúdo necessário é o método de iteração de Picard, que consiste em transformar a EDO em
y(x)=y(0)+\int_{0}^{x}2t\bigl(y(t)+1\bigr)\,dt
e definir sucessões y_{n} por
y_{0}(x)=0,\quad y_{n+1}(x)=\int_{0}^{x}2t\bigl(y_{n}(t)+1\bigr)\,dt.

Passo 2

Usando a definição de Picard, para n=0 temos
y_{1}(x) =\int_{0}^{x}2t\bigl(y_{0}(t)+1\bigr)\,dt =\int_{0}^{x}2t\cdot1\,dt =\Bigl[t^{2}\Bigr]_{0}^{x} =x^{2}.

Passo 3

Para n=1 aplicamos novamente:
y_{2}(x) =\int_{0}^{x}2t\bigl(y_{1}(t)+1\bigr)\,dt =\int_{0}^{x}2t\bigl(t^{2}+1\bigr)\,dt =\int_{0}^{x}(2t^{3}+2t)\,dt =\frac{x^{4}}{2}+x^{2}.

Passo 4

Observando y_{1} e y_{2}, suspeitamos que, por indução,
y_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}\frac{x^{2k}}{k!}.
De fato, supondo isso para y_{n}, ao calcular y_{n+1} integra-se termo a termo e recupera-se o próximo termo da série de e^{x^{2}}.

Passo 5

Tomando o limite n\to\infty, obtemos
y(x)=\lim_{n\to\infty}y_{n}(x) =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{2k}}{k!} =e^{x^{2}}-1.

Resposta

y_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}\frac{x^{2k}}{k!}, \qquad y(x)=e^{x^{2}}-1.

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