\mathbf{3}^{\circ} ) Questão ( 9,0 ptos, onde cada item vale 3,0 ptos). Resolva as seguintes edos com as substituições u dadas:
y^{\prime}+4 y / x=-x^{5} e^{x} y^{2}, sendo que u=y^{-1}.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y' + \frac{4\,y}{x} = -x^{5}e^{x}y^{2}
e propõe a substituição u = y^{-1}. Aqui o conteúdo é um caso de equação de Bernoulli, que ao fazer u=y^{-1} vira uma EDO linear em u. Vamos calcular u', obter a EDO em u, resolvê-la e voltar a y.

Passo 2

Como u = y^{-1}, temos
u' = -\frac{y'}{y^{2}}.
Da equação original isolamos
y' = -\frac{4y}{x} - x^{5}e^{x}y^{2}
e então
u' = -\frac{-\tfrac{4y}{x} - x^{5}e^{x}y^{2}}{y^{2}} = \frac{4}{x\,y} + x^{5}e^{x}.
Mas 1/y = u, logo surge a EDO linear
u' - \frac{4}{x}\,u = x^{5}e^{x}.

Passo 3

Para resolver
u' - \frac{4}{x}\,u = x^{5}e^{x}
calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int -\tfrac{4}{x}\,dx\Bigr) = x^{-4}.

Passo 4

Multiplicando a EDO por \mu(x)=x^{-4} obtemos
\bigl(x^{-4}u\bigr)' = x^{-4}\,x^{5}e^{x} = x\,e^{x}.
Integrando em x:
x^{-4}u = \int x\,e^{x}\,dx = x\,e^{x} - e^{x} + C.
Portanto
u = x^{4}\bigl(x\,e^{x} - e^{x} + C\bigr).

Passo 5

Como u = y^{-1}, a solução geral em y é
y(x) = \frac{1}{u} = \frac{1}{x^{4}\bigl(x\,e^{x} - e^{x} + C\bigr)}.

Resposta

y(x) = \frac{1}{x^{4}\bigl(x\,e^{x} - e^{x} + C\bigr)}.

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