\mathbf{3}^{\circ} ) Questão ( 9,0 ptos, onde cada item vale 3,0 ptos). Resolva as seguintes edos com as substituições u dadas:
y^{\prime}=(x+y+3)^{2}, sendo que u=x+y+3.

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = (x + y + 3)^{2}
utilizando a substituição u = x + y + 3. Vamos transformar a EDO numa forma separável para depois integrar.

Passo 2

Primeiro calculamos \tfrac{du}{dx}. Como
u = x + y + 3,
temos
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x) + \frac{dy}{dx} + \frac{d}{dx}(3) = 1 + y' + 0 = 1 + (x + y + 3)^{2}.
Mas (x + y + 3)^{2} = u^{2}, logo
\frac{du}{dx} = 1 + u^{2}.

Passo 3

Reescrevendo como equação separável, fica
\frac{du}{1 + u^{2}} = dx.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int \frac{du}{1 + u^{2}} = \int dx \quad\Longrightarrow\quad \arctan(u) = x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolando u, obtemos
u = \tan\bigl(x + C\bigr).
Voltando à variável original, u = x + y + 3, temos
x + y + 3 = \tan\bigl(x + C\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y(x) = \tan\bigl(x + C\bigr) - x - 3.

Resposta

y(x) = \tan\bigl(x + C\bigr) \;-\; x \;-\; 3,
com C constante arbitrária.

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