\mathbf{1}^{\circ} ) Questão (2,5 ptos).
Usando o método de picard, encontre y_{1}, y_{2}, y_{3} e y_{4} da edo y^{\prime}-y^{2}=1, com y(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede aproximações sucessivas y_{1},y_{2},y_{3},y_{4} da solução do problema de valor inicial
y' - y^2 = 1,\quad y(0)=0,
ou seja,
y'=y^2+1,\quad y(0)=0,
usando o método de Picard. Vamos aplicar a fórmula de iteração de Picard e calcular as integrais polinomiais em cada passo.

Passo 2

Definimos a aproximação inicial e a fórmula recursiva de Picard:
y_{0}(x)=0,
y_{n+1}(x)=y(0)+\int_{0}^{x}\bigl(y_{n}(t)^{2}+1\bigr)\,dt.
Como y(0)=0, isso fica simplesmente
y_{n+1}(x)=\int_{0}^{x}\bigl(y_{n}(t)^{2}+1\bigr)\,dt.

Passo 3

Para n=0:
y_{1}(x) =\int_{0}^{x}\bigl(y_{0}(t)^{2}+1\bigr)\,dt =\int_{0}^{x}1\,dt =x.

Passo 4

Para n=1:
y_{2}(x) =\int_{0}^{x}\bigl(y_{1}(t)^{2}+1\bigr)\,dt =\int_{0}^{x}\bigl(t^{2}+1\bigr)\,dt =x+\frac{x^{3}}{3}.

Passo 5

Para n=2:
y_{3}(x) =\int_{0}^{x}\bigl(y_{2}(t)^{2}+1\bigr)\,dt =\int_{0}^{x}\Bigl(\bigl(t+\tfrac{t^{3}}{3}\bigr)^{2}+1\Bigr)\,dt =\int_{0}^{x}\Bigl(1+t^{2}+\tfrac{2t^{4}}{3}+\tfrac{t^{6}}{9}\Bigr)\,dt =x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{2x^{5}}{15}+\frac{x^{7}}{63}.

Passo 6

Para n=3:
y_{4}(x) =\int_{0}^{x}\bigl(y_{3}(t)^{2}+1\bigr)\,dt.
Calculando o quadrado polinomial até a ordem t^{8}:
y_{3}(t)^{2} =\Bigl(t+\tfrac{t^{3}}{3}+\tfrac{2t^{5}}{15}+\tfrac{t^{7}}{63}\Bigr)^{2} = t^{2}+\frac{2t^{4}}{3}+\frac{17t^{6}}{45}+\frac{38t^{8}}{315}+\cdots
Logo
y_{4}(x) =\int_{0}^{x}\Bigl(1+t^{2}+\tfrac{2t^{4}}{3}+\tfrac{17t^{6}}{45}+\tfrac{38t^{8}}{315}\Bigr)\,dt =x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{2x^{5}}{15}+\frac{17x^{7}}{315}+\frac{38x^{9}}{2835}.

Resposta

y_{1}(x)=x
y_{2}(x)=x+\frac{x^{3}}{3}
y_{3}(x)=x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{2x^{5}}{15}+\frac{x^{7}}{63}
y_{4}(x)=x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{2x^{5}}{15}+\frac{17x^{7}}{315}+\frac{38x^{9}}{2835}

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