1. (2,0) Resolva as seguintes inequações:
    \operatorname{sen}(2 x) \cdot\left(\operatorname{sec} ^{2}(x)-\frac{1}{3}\right) \leq 0, sendo x \in[0,2 \pi].

Passo 1

O problema pede para resolver a inequação
\operatorname{sen}(2x)\,\bigl(\operatorname{sec}^2(x)-\tfrac13\bigr)\le0,
no intervalo x\in[0,2\pi]. Vamos precisar saber onde cada fator é definido, determinar o sinal de \operatorname{sec}^2(x)-\tfrac13 e depois usar a solução de \operatorname{sen}(2x)\le0.

Passo 2

Primeiro observamos a definição de \operatorname{sec}^2(x)=1/\cos^2(x). Logo \operatorname{sec}^2(x) só existe se \cos(x)\neq0, isto é,
x\neq\tfrac\pi2,\quad x\neq\tfrac{3\pi}2.
Então o domínio efetivo da inequação é
[0,2\pi]\setminus\Bigl\{\tfrac\pi2,\tfrac{3\pi}2\Bigr\}.

Passo 3

Analisamos o fator \operatorname{sec}^2(x)-\tfrac13. Como \operatorname{sec}^2(x)\ge1 sempre que definido, temos
\operatorname{sec}^2(x)-\tfrac13\ge1-\tfrac13=\tfrac23>0
para todo x do domínio. Portanto esse segundo fator é estritamente positivo em toda parte.

Passo 4

Como \operatorname{sec}^2(x)-\tfrac13>0, o sinal do produto
\operatorname{sen}(2x)\,\bigl(\operatorname{sec}^2(x)-\tfrac13\bigr)
é o mesmo de \operatorname{sen}(2x). Assim a inequação original reduz-se a
\operatorname{sen}(2x)\le0,
com a ressalva de excluir os pontos onde \cos(x)=0.

Passo 5

Para resolver \operatorname{sen}(2x)\le0 em 0\le x\le2\pi, note que se colocarmos \theta=2x, temos \theta\in[0,4\pi] e
\operatorname{sen}(\theta)\le0\quad\Longleftrightarrow\quad \theta\in[\pi,2\pi]\cup[3\pi,4\pi].
Voltando a x, isso dá
x\in\bigl[\tfrac\pi2,\pi\bigr]\cup\bigl[\tfrac{3\pi}2,2\pi\bigr],
mais os pontos de igualdade \operatorname{sen}(2x)=0 ocorrem também em x=0 e x=2\pi.

Passo 6

Agora aplicamos o domínio: excluímos x=\tfrac\pi2 e x=\tfrac{3\pi}2, mas mantemos os pontos onde \operatorname{sen}(2x)=0 e \cos(x)\neq0, ou seja x=0,\;\pi,\;2\pi. Assim a solução final é
x=0, \quad x\in\bigl(\tfrac\pi2,\pi\bigr], \quad x\in\bigl(\tfrac{3\pi}2,2\pi\bigr].

Resposta

x=0, \;x\in\bigl(\tfrac\pi2,\pi\bigr], \;x\in\bigl(\tfrac{3\pi}2,2\pi\bigr].

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