( \mathbf{1 , 5} \mathbf{~ p}.) Determine a área da região delimitada pelos gráficos das funções: f_{1}(x)=x^{2}-4 x e f_{2}(x)=-x^{2}+2 x.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
f_{1}(x)=x^{2}-4x
e
f_{2}(x)=-x^{2}+2x.
O conteúdo aqui é “área entre duas curvas”. Para isso precisamos:
  1. Encontrar os pontos de interseção (onde f_{1}(x)=f_{2}(x)).
  2. Identificar qual função está “por cima” no intervalo de interseção.
  3. Calcular a integral definida da diferença entre a função de cima e a de baixo.

Passo 2

Igualamos f_{1}(x) a f_{2}(x):
x^{2}-4x = -x^{2}+2x.
Reagrupando os termos,
x^{2}-4x + x^{2}-2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x^{2}-6x = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x(x-3)=0.
Logo os pontos de interseção são
x=0 \quad\text{e}\quad x=3.

Passo 3

Para decidir qual curva está acima, avaliamos num ponto entre 0 e 3, por exemplo x=1:
f_{1}(1)=1-4=-3, \quad f_{2}(1)=-1+2=1,
logo f_{2}(x) é a curva superior e f_{1}(x) a inferior no intervalo [0,3].
A área procurada é
\int_{0}^{3}\bigl(f_{2}(x)-f_{1}(x)\bigr)\,dx =\int_{0}^{3}\bigl[(-x^{2}+2x)-(x^{2}-4x)\bigr]\,dx =\int_{0}^{3}(-2x^{2}+6x)\,dx.

Passo 4

Calculamos a integral:
\int(-2x^{2}+6x)\,dx =-2\int x^{2}\,dx +6\int x\,dx =-2\cdot\frac{x^{3}}{3} +6\cdot\frac{x^{2}}{2} =-\frac{2}{3}x^{3}+3x^{2}.
Agora avaliamos de 0 a 3:
\bigl[-\tfrac{2}{3}x^{3}+3x^{2}\bigr]_{0}^{3} =\Bigl(-\tfrac{2}{3}\cdot27+3\cdot9\Bigr)-0 =\bigl(-18+27\bigr) =9.

Resposta

A área da região limitada é 9.

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