Obtenha uma equação geral do plano π descrito em cada caso. π contém os pontos A=(1,0,1), B=(-1,0,1) e C=(2,1,2).
Passo 1
O enunciado dá três pontos do plano \pi e pede sua equação geral. Informações fornecidas:
Ponto A=(1,0,1).
Ponto B=(-1,0,1).
Ponto C=(2,1,2).
O que é pedido: encontrar a equação geral do plano \pi, isto é, uma expressão do tipo
ax+by+cz+d=0
que seja satisfeita por todos os pontos do plano que contém A, B e C.
Passo 2
Ideia básica (sem detalhes técnicos demais por enquanto): para obter a equação de um plano bastam um vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c) ao plano e um ponto P_0 do plano. A equação vetorial do plano é
\mathbf{n}\cdot(\mathbf{X}-\mathbf{P_0})=0,
onde \mathbf{X}=(x,y,z) é um ponto genérico. Então precisamos:
Construir dois vetores diretores do plano (por exemplo \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}).
Calcular o produto vetorial (cross product) desses dois vetores para obter um vetor normal \mathbf{n}.
Usar \mathbf{n} e um ponto (por exemplo A) na fórmula acima e simplificar até a forma ax+by+cz+d=0.
Passo 3
Calcular os vetores diretores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.
\overrightarrow{AB} = B - A = (-1-1,\;0-0,\;1-1) = (-2,\,0,\,0).
\overrightarrow{AC} = C - A = (2-1,\;1-0,\;2-1) = (1,\,1,\,1).
Explanação rápida: subtrair coordenadas dá um vetor que liga A a B (ou A a C); esses vetores estão contidos no plano.
Passo 4
Calcular o vetor normal \mathbf{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}.
Lembrete do produto vetorial: se \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3), então
Observação: podemos simplificar \mathbf{n} dividindo por 2, obtendo um vetor normal mais simples \mathbf{n}=(0,\,1,\,-1). Multiplicar ou dividir \mathbf{n} por escalares não muda o plano.]
Passo 5
Construir a equação do plano usando \mathbf{n}=(0,1,-1) e o ponto A=(1,0,1).
A forma vetorial é
\mathbf{n}\cdot(\mathbf{X}-A)=0,
ou seja
(0,1,-1)\cdot\big((x,y,z)-(1,0,1)\big)=0.
Fazendo a subtração e o produto escalar:
(0,1,-1)\cdot(x-1,\;y-0,\;z-1)=0.
O produto escalar dá
0\cdot(x-1)+1\cdot(y-0)+(-1)\cdot(z-1)=0.
Passo 6
Desenvolver e simplificar a expressão do Passo 5.
0+(y)+(-z+1)=0 \quad\Rightarrow\quad y - z + 1 = 0.
Vamos checar rapidamente que os três pontos satisfazem a equação (verificação é boa para ganhar confiança):