Obtenha uma equação geral do plano π descrito em cada caso.
π contém os pontos A=(1,0,1), B=(-1,0,1) e C=(2,1,2).

Passo 1

O enunciado dá três pontos do plano \pi e pede sua equação geral. Informações fornecidas:
  • Ponto A=(1,0,1).
  • Ponto B=(-1,0,1).
  • Ponto C=(2,1,2).
O que é pedido: encontrar a equação geral do plano \pi, isto é, uma expressão do tipo
ax+by+cz+d=0
que seja satisfeita por todos os pontos do plano que contém A, B e C.

Passo 2

Ideia básica (sem detalhes técnicos demais por enquanto): para obter a equação de um plano bastam um vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c) ao plano e um ponto P_0 do plano. A equação vetorial do plano é
\mathbf{n}\cdot(\mathbf{X}-\mathbf{P_0})=0,
onde \mathbf{X}=(x,y,z) é um ponto genérico. Então precisamos:
  1. Construir dois vetores diretores do plano (por exemplo \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}).
  2. Calcular o produto vetorial (cross product) desses dois vetores para obter um vetor normal \mathbf{n}.
  3. Usar \mathbf{n} e um ponto (por exemplo A) na fórmula acima e simplificar até a forma ax+by+cz+d=0.

Passo 3

Calcular os vetores diretores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.
  • \overrightarrow{AB} = B - A = (-1-1,\;0-0,\;1-1) = (-2,\,0,\,0).
  • \overrightarrow{AC} = C - A = (2-1,\;1-0,\;2-1) = (1,\,1,\,1).
Explanação rápida: subtrair coordenadas dá um vetor que liga A a B (ou A a C); esses vetores estão contidos no plano.

Passo 4

Calcular o vetor normal \mathbf{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}.
Lembrete do produto vetorial: se \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3), então
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=(u_2v_3-u_3v_2,\; u_3v_1-u_1v_3,\; u_1v_2-u_2v_1).
Aplicando com \overrightarrow{AB}=(-2,0,0) e \overrightarrow{AC}=(1,1,1):
\begin{aligned} n_1 &= 0\cdot 1 - 0\cdot 1 = 0,\\[4pt] n_2 &= 0\cdot 1 - (-2)\cdot 1 = 2,\\[4pt] n_3 &= (-2)\cdot 1 - 0\cdot 1 = -2. \end{aligned}
Portanto \mathbf{n}=(0,\,2,\,-2).
Observação: podemos simplificar \mathbf{n} dividindo por 2, obtendo um vetor normal mais simples \mathbf{n}=(0,\,1,\,-1). Multiplicar ou dividir \mathbf{n} por escalares não muda o plano.]

Passo 5

Construir a equação do plano usando \mathbf{n}=(0,1,-1) e o ponto A=(1,0,1).
A forma vetorial é
\mathbf{n}\cdot(\mathbf{X}-A)=0,
ou seja
(0,1,-1)\cdot\big((x,y,z)-(1,0,1)\big)=0.
Fazendo a subtração e o produto escalar:
(0,1,-1)\cdot(x-1,\;y-0,\;z-1)=0.
O produto escalar dá
0\cdot(x-1)+1\cdot(y-0)+(-1)\cdot(z-1)=0.

Passo 6

Desenvolver e simplificar a expressão do Passo 5.
0+(y)+(-z+1)=0 \quad\Rightarrow\quad y - z + 1 = 0.
Vamos checar rapidamente que os três pontos satisfazem a equação (verificação é boa para ganhar confiança):
  • Para A=(1,0,1): y-z+1 = 0 - 1 + 1 = 0.
  • Para B=(-1,0,1): y-z+1 = 0 - 1 + 1 = 0.
  • Para C=(2,1,2): y-z+1 = 1 - 2 + 1 = 0.
Todos satisfazem, logo a equação está correta.

Resposta

y - z + 1 = 0

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