( \mathbf{0 , 8} ponto) Dada a função posição do MHS a seguir:
X(t)=(5,0 \mathrm{~m}) \cos [(2,1 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{s}) \mathrm{t}+\pi / 4 \mathrm{rad})]
Considerando \mathrm{t}=0,035 \mathrm{~min}, Determine:
a) O deslocamento;
b) A fase em rad;
c) A frequência;
d) O período do movimento;

Passo 1

O enunciado dá a função posição e pede quatro coisas em t=0,035\\ \mathrm{min}.
Dados fornecidos:
X(t) = (5,0\\ \mathrm{m})\cos\bigl[(2,1\pi\\ \mathrm{rad/s})\,t + \pi/4\\ \mathrm{rad}\bigr]
Tempo dado:
t = 0,035\\ \mathrm{min}
O que o enunciado pergunta:
a) O deslocamento X(t) no instante dado.
b) A fase (valor de \omega t + \varphi_0) em rad.
c) A frequência do movimento (em Hz).
d) O período do movimento (em s).

Passo 2

Converter o tempo dado de minutos para segundos (porque \omega está em rad/s). A conversão é 1\\ \mathrm{min}=60\\ \mathrm{s}, então
t = 0,035\\ \mathrm{min} = 0,035\cdot 60\\ \mathrm{s} = 2,1\\ \mathrm{s}.
Sempre que houver unidades, converta para as unidades do parâmetro da função (aqui segundos) antes de calcular.

Passo 3

Identificar os parâmetros da igualdade harmônica simples (semielementar):
  • Amplitude: \displaystyle A = 5,0\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade angular: \displaystyle \omega = 2,1\pi\\ \mathrm{rad/s}.
  • Fase inicial: \displaystyle \varphi_0 = \pi/4\\ \mathrm{rad}.
Lembrete rápido de conceitos:
  • A função é da forma \displaystyle X(t)=A\cos(\omega t + \varphi_0).
  • Aqui \omega t + \varphi_0 é a fase (em rad), A é o máximo deslocamento (m).

Passo 4

Calcular a fase \omega t e depois a fase total \theta=\omega t+\varphi_0.
Primeiro calcule \omega t usando os valores em forma exata (para evitar acúmulo de erro):
\omega t = (2,1\pi)(2,1) = 4,41\pi\\ \mathrm{rad}.
Agora some a fase inicial:
\theta = \omega t + \varphi_0 = 4,41\pi + \frac{\pi}{4} = \bigl(4,41 + 0,25\bigr)\pi = 4,66\pi\\ \mathrm{rad}.
Se quiser o valor numérico:
\theta \approx 4,66\cdot 3,14159265 \approx 14,6398\\ \mathrm{rad}.
Observação sobre reduzir a fase ao intervalo principal [0,2\pi): subtraímos múltiplos inteiros de 2\pi.
4,66\pi = 2\cdot 2\pi + 0,66\pi \quad\Rightarrow\quad \theta_{\text{mód}} = 0,66\pi \approx 2,07345\\ \mathrm{rad}.ó
Ambos os números representam a mesma fase: 14,6398\\ \mathrm{rad} (fase absoluta) e 2,07345\\ \mathrm{rad} (fase módulo 2\pi).

Passo 5

Calcular o deslocamento X(t)=A\cos(\theta). Usamos a fase reduzida \theta_{\text{mód}}=0,66\pió porque o cosseno é 2\pi-periódico, isto facilita o cálculo numérico.
X(2,1\\ \mathrm{s}) = 5,0\cos\bigl(0,66\pi\bigr)\\ \mathrm{m}.
Agora vamos calcular \cos(0,66\pi) com atenção numérica (explicando um jeito prático sem calculadora):
  • Note que 0,66\pi em graus é 0,66\cdot 180^\circ = 118,8^\circ.
  • 118,8^\circ = 180^\circ - 61,2^\circ, então \cos(118,8^\circ) = -\cos(61,2^\circ).
  • Podemos estimar \cos(61,2^\circ) aproximando em torno de 60^\circ ( = \pi/3 rad): a diferença em rad é \delta = 1,06814 - 1,04720 \approx 0,02094\\ \mathrm{rad}. Usando a fórmula de soma: \cos\bigl(\tfrac{\pi}{3}+\delta\bigr) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\delta - \sin\frac{\pi}{3}\sin\delta.Com \cos\frac{\pi}{3}=0,5 e \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,8660254, e aproximando \cos\delta\approx 0,9997807 e \sin\delta\approx 0,0209426 (expansões de Taylor para pequeno \delta), obtemos \cos(1,06814)\approx 0,5\cdot 0,9997807 - 0,8660254\cdot 0,0209426 \approx 0,4817606.Portanto \cos(0,66\pi)= -0,4817606.
Multiplicando pela amplitude:
X(2,1\\ \mathrm{s}) = 5,0\cdot (-0,4817606)\\ \mathrm{m} \approx -2,4088\\ \mathrm{m}.
Dica prática: em prova, se não pode usar calculadora, basta estimar com essa técnica (usar ângulos próximos com valores conhecidos e expansões para pequenos desvios).

Passo 6

Calcular a frequência f a partir de \omega. A relação entre \omega e f é
\omega = 2\pi f \quad\Rightarrow\quad f=\frac{\omega}{2\pi}.
Aplicando \omega=2,1\pi:
f = \frac{2,1\pi}{2\pi} = \frac{2,1}{2} = 1,05\\ \mathrm{Hz}.
Explicação curta: f é o número de oscilações por segundo; aqui o fator \pi cancela.

Passo 7

Calcular o período T. A relação é
T=\frac{1}{f}.
Com f=1,05\\ \mathrm{Hz},
T = \frac{1}{1,05} = \frac{20}{21}\\ \mathrm{s} \approx 0,95238\\ \mathrm{s}.
Observação: expressar T como fração \tfrac{20}{21}\\ \mathrm{s} pode ser útil em contas exatas.

Resposta

a) -2,4088\\ \mathrm{m}
b) \theta = 14,6398\\ \mathrm{rad} \bigl(\text{módulo }2\pi:\\\ 2,07345\\ \mathrm{rad}\bigr)ó
c) 1,05\\ \mathrm{Hz}
d) T=\dfrac{20}{21}\\ \mathrm{s}\approx 0,95238\\ \mathrm{s}

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