(
ponto) Dada a função posição do MHS a seguir:
Considerando
, Determine:
a) O deslocamento;
b) A fase em rad;
c) A frequência;
d) O período do movimento;
a) O deslocamento;
b) A fase em rad;
c) A frequência;
d) O período do movimento;
Passo 1
O enunciado dá a função posição e pede quatro coisas em
.
Dados fornecidos:
Tempo dado:
O que o enunciado pergunta:
a) O deslocamento no instante dado.
b) A fase (valor de ) em rad.
c) A frequência do movimento (em Hz).
d) O período do movimento (em s).
a) O deslocamento
b) A fase (valor de
c) A frequência do movimento (em Hz).
d) O período do movimento (em s).
Passo 2
Converter o tempo dado de minutos para segundos (porque
está em rad/s). A conversão é
, então
Sempre que houver unidades, converta para as unidades do parâmetro da função (aqui segundos) antes de calcular.
Passo 3
Identificar os parâmetros da igualdade harmônica simples (semielementar):
- Amplitude:
. - Velocidade angular:
. - Fase inicial:
.
Lembrete rápido de conceitos:
- A função é da forma
. - Aqui
é a fase (em rad), é o máximo deslocamento (m).
Passo 4
Calcular a fase
e depois a fase total
.
Primeiro calcule
usando os valores em forma exata (para evitar acúmulo de erro):
Agora some a fase inicial:
Se quiser o valor numérico:
Observação sobre reduzir a fase ao intervalo principal
: subtraímos múltiplos inteiros de
.
Ambos os números representam a mesma fase:
(fase absoluta) e
(fase módulo
).
Passo 5
Calcular o deslocamento
. Usamos a fase reduzida
porque o cosseno é
-periódico, isto facilita o cálculo numérico.
Agora vamos calcular
com atenção numérica (explicando um jeito prático sem calculadora):
- Note que
em graus é . -
, então . - Podemos estimar
aproximando em torno de ( rad): a diferença em rad é . Usando a fórmula de soma: Com e , e aproximando e (expansões de Taylor para pequeno ), obtemos Portanto .
Multiplicando pela amplitude:
Dica prática: em prova, se não pode usar calculadora, basta estimar com essa técnica (usar ângulos próximos com valores conhecidos e expansões para pequenos desvios).
Passo 6
Calcular a frequência
a partir de
. A relação entre
e
é
Aplicando
:
Explicação curta:
é o número de oscilações por segundo; aqui o fator
cancela.
Passo 7
Calcular o período
. A relação é
Com
,
Observação: expressar
como fração
pode ser útil em contas exatas.
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)