( \mathbf{0 , 8} ponto) Dada a função posição do MHS a seguir:
X(t)=(4,5 \mathrm{~m}) \cos [(3 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{s}) t+\pi / 2 \mathrm{rad})]
Considerando \mathrm{t}=7 \mathrm{~s}, Determine:
a) O deslocamento;
b) A velocidade;
c) A aceleração;
d) A aceleração máxima.

Passo 1

O enunciado dá a função posição do movimento harmônico simples e pede quatro quantidades no instante t=7\\ \mathrm{s}. Informações fornecidas:
X(t)=(4{,}5\\ \mathrm{m})\cos\bigl[(3\pi\\ \mathrm{rad/s})\,t+\pi/2\\ \mathrm{rad}\bigr].
Perguntas a responder:
a) o deslocamento em t=7\\ \mathrm{s};
b) a velocidade em t=7\\ \mathrm{s};
c) a aceleração em t=7\\ \mathrm{s};
d) a aceleração máxima do MHS.

Passo 2

Vamos identificar as constantes e preparar o cálculo:
A=4{,}5\\ \mathrm{m},\qquad \omega=3\pi\\ \mathrm{rad/s},\qquad \varphi=\pi/2,\qquad t=7\\ \mathrm{s}.
Definimos o ângulo auxiliar
\theta=\omega t+\varphi=(3\pi)(7)+\frac{\pi}{2}=21\pi+\frac{\pi}{2}=\frac{43\pi}{2}.
Como as funções trigonométricas são periódicas de período 2\pi, reduzimos \theta módulo 2\pi. Em unidades de \pi:
\frac{43}{2}=21{,}5,\qquad 21{,}5-10\cdot2=1{,}5=\frac{3}{2},
logo \theta é equivalente a \frac{3\pi}{2}. Portanto usaremos \theta=\frac{3\pi}{2} para avaliar cosseno e seno.

Passo 3

Fórmula para o deslocamento no MHS:
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi).
Substituindo \theta=\frac{3\pi}{2}:
x(7)=4{,}5\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right).
Sabemos que \cos\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=0. Então
x(7)=4{,}5\cdot 0 = 0\\ \mathrm{m}.
Interpretação rápida: x=0 indica que, em t=7\\ \mathrm{s}, a partícula está na posição de equilíbrio.

Passo 4

Derivamos a posição para obter a velocidade. Regra usada: a derivada de \cos(u) é -\sin(u)\cdot u' (regra da cadeia). Assim:
v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\omega t+\varphi).
Agora avaliamos em t=7 com \theta=\tfrac{3\pi}{2}. Sabemos \sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=-1. Então
v(7)=-4{,}5\cdot(3\pi)\cdot\sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=-4{,}5\cdot 3\pi\cdot(-1)=4{,}5\cdot 3\pi.
Simplificando:
v(7)=13{,}5\pi\\ \mathrm{m/s}.
Valor numérico aproximado (usar \pi\approx 3{,}14159):
v(7)\approx 13{,}5\cdot 3{,}14159\approx 42{,}41\\ \mathrm{m/s}.
Observação física: x=0 e velocidade máxima (não nula) é consistente — ao passar pelo equilíbrio a velocidade é máxima.

Passo 5

Derivamos a velocidade para obter a aceleração. Novamente aplicando derivada e regra da cadeia:
a(t)=\frac{dv}{dt}=-A\omega^{2}\cos(\omega t+\varphi).
Notamos também a relação direta a(t)=-\omega^{2}x(t), que é característica do MHS. Avaliando em t=7 com \cos(\tfrac{3\pi}{2})=0:
a(7)=-4{,}5\cdot(3\pi)^{2}\cdot 0 = 0\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Interpretação: aceleração nula no instante em que a partícula passa pelo equilíbrio com velocidade máxima.

Passo 6

A aceleração máxima em valor absoluto (módulo) num MHS ocorre quando |\cos(\omega t+\varphi)|=1. Fórmula:
a_{\max}=A\omega^{2}.
Calculamos:
a_{\max}=4{,}5\cdot(3\pi)^{2}=4{,}5\cdot 9\pi^{2}=40{,}5\pi^{2}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Valor numérico aproximado ( \pi^{2}\approx 9{,}8696):
a_{\max}\approx 40{,}5\cdot 9{,}8696\approx 399{,}63\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 7

Resumo físico rápido para te encorajar: no tempo dado a partícula está no equilíbrio ( x=0), com velocidade máxima positiva e aceleração zero; a aceleração máxima do movimento é muito maior que a aceleração instantânea, como esperado para um grande \omega.

Resposta

a) x(7)=0\\ \mathrm{m}
b) v(7)=13{,}5\pi\\ \mathrm{m/s}\approx 42{,}41\\ \mathrm{m/s}
c) a(7)=0\\ \mathrm{m/s^{2}}
d) a_{\max}=40{,}5\pi^{2}\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx 399{,}63\\ \mathrm{m/s^{2}}

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