(
ponto) Dada a função posição do MHS a seguir:
Considerando
, Determine:
a) O deslocamento;
b) A velocidade;
c) A aceleração;
d) A aceleração máxima.
a) O deslocamento;
b) A velocidade;
c) A aceleração;
d) A aceleração máxima.
Passo 1
O enunciado dá a função posição do movimento harmônico simples e pede quatro quantidades no instante
. Informações fornecidas:
Perguntas a responder:
a) o deslocamento em ;
b) a velocidade em ;
c) a aceleração em ;
d) a aceleração máxima do MHS.
a) o deslocamento em
b) a velocidade em
c) a aceleração em
d) a aceleração máxima do MHS.
Passo 2
Vamos identificar as constantes e preparar o cálculo:
Definimos o ângulo auxiliar
Como as funções trigonométricas são periódicas de período
, reduzimos
módulo
. Em unidades de
:
logo
é equivalente a
. Portanto usaremos
para avaliar cosseno e seno.
Passo 3
Fórmula para o deslocamento no MHS:
Substituindo
:
Sabemos que
. Então
Interpretação rápida:
indica que, em
, a partícula está na posição de equilíbrio.
Passo 4
Derivamos a posição para obter a velocidade. Regra usada: a derivada de
é
(regra da cadeia). Assim:
Agora avaliamos em
com
. Sabemos
. Então
Simplificando:
Valor numérico aproximado (usar
):
Observação física:
e velocidade máxima (não nula) é consistente — ao passar pelo equilíbrio a velocidade é máxima.
Passo 5
Derivamos a velocidade para obter a aceleração. Novamente aplicando derivada e regra da cadeia:
Notamos também a relação direta
, que é característica do MHS. Avaliando em
com
:
Interpretação: aceleração nula no instante em que a partícula passa pelo equilíbrio com velocidade máxima.
Passo 6
A aceleração máxima em valor absoluto (módulo) num MHS ocorre quando
. Fórmula:
Calculamos:
Valor numérico aproximado (
):
Passo 7
Resumo físico rápido para te encorajar: no tempo dado a partícula está no equilíbrio (
), com velocidade máxima positiva e aceleração zero; a aceleração máxima do movimento é muito maior que a aceleração instantânea, como esperado para um grande
.
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)