( \mathbf{1 , 0} ponto) Efetue as seguintes operações com frações e simplifique, se puder:
(c) \frac{x-3}{5}+\frac{2}{x}-\frac{x}{5}

Passo 1

O enunciado pede para efetuar as operações com frações e simplificar a expressão
\frac{x-3}{5}+\frac{2}{x}-\frac{x}{5}.
Informações dadas:
  • As frações têm denominadores 5 e x.
  • É necessário somar/subtrair frações algébricas e simplificar o resultado, se possível.
  • Observação importante (da própria expressão): x\neq 0 porque existe um denominador \,x.

Passo 2

Primeira ideia útil (conceito): quando duas frações têm o mesmo denominador, pode-se somar/subtrair apenas operando sobre os numeradores e mantendo o denominador comum. Ou seja, para frações com mesmo denominador d,
\frac{a}{d}+\frac{b}{d}=\frac{a+b}{d}.
Aqui percebemos que \dfrac{x-3}{5} e \dfrac{x}{5} têm denominador comum 5, então podemos combiná-las diretamente.

Passo 3

Aplicando isso às duas frações com denominador 5:
\frac{x-3}{5}-\frac{x}{5}=\frac{(x-3)-x}{5}.
Agora desenvolvendo o numerador:
(x-3)-x = x-3-x = -3.
Portanto
\frac{x-3}{5}-\frac{x}{5}=\frac{-3}{5} = -\frac{3}{5}.

Passo 4

Agora a expressão ficou mais simples; substituindo o resultado:
-\frac{3}{5}+\frac{2}{x}.
Próxima ideia útil (conceito): para somar/subtrair frações com denominadores diferentes, usar o mínimo múltiplo comum dos denominadores como denominador comum. Aqui os denominadores são 5 e x; um denominador comum conveniente é 5x. Para transformar cada fração para denominador 5x, multiplica-se numerador e denominador pelo fator que falta.

Passo 5

Transformando cada termo para denominador 5x:
-\frac{3}{5} = -\frac{3\cdot x}{5\cdot x} = -\frac{3x}{5x}, \qquad \frac{2}{x} = \frac{2\cdot 5}{x\cdot 5} = \frac{10}{5x}.
Agora somamos:
-\frac{3x}{5x}+\frac{10}{5x}=\frac{-3x+10}{5x}.

Passo 6

Organizando o numerador numa ordem usual (opcional):
\frac{-3x+10}{5x}=\frac{10-3x}{5x}.
Verificação de simplificação adicional: para simplificar uma fração antes pode-se cancelar fatores comuns entre numerador e denominador. Aqui o numerador 10-3x e o denominador 5x não têm um fator comum que possibilite cancelamento (exceto 1 ou -1 caso se queira reordenar), portanto a fração já está na forma mais simples. Lembrar da restrição de domínio: x\neq 0.

Resposta

\dfrac{10-3x}{5x}

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