( \mathbf{1 , 0} ponto) Efetue as seguintes operações com frações e simplifique, se puder:
(d) x-\frac{3}{y}+\frac{2}{3}

Passo 1

O enunciado pede para efetuar as operações com frações e simplificar, se possível, da expressão
x - \frac{3}{y} + \frac{2}{3}.
Informações dadas:
  • Há três termos: x, -\dfrac{3}{y} e \dfrac{2}{3}.
  • Deve-se somar/subtrair essas parcelas reduzindo/simplificando as frações quando possível.

Passo 2

Ideia geral (sem executar ainda): para somar ou subtrair frações é preciso que elas tenham o mesmo denominador (denominador comum). O termo x não é uma fração explícita, então para somá-lo com frações podemos expressar x como uma fração com o mesmo denominador comum que usarmos para os outros termos. Vou primeiro somar as duas frações -\dfrac{3}{y} e \dfrac{2}{3}, depois juntar o resultado com x.
Breve revisão prática: para juntar \dfrac{a}{b} e \dfrac{c}{d} usa-se o denominador comum bd (ou o mínimo múltiplo comum). Então
\frac{a}{b}=\frac{a\cdot d}{b\cdot d},\qquad \frac{c}{d}=\frac{c\cdot b}{d\cdot b},
e soma-se numeradores sobre o denominador comum.

Passo 3

Determinar o denominador comum de -\dfrac{3}{y} e \dfrac{2}{3}. Os denominadores são y e 3; um denominador comum é 3y.
Transformar cada fração para o denominador 3y:
-\frac{3}{y} = -\frac{3\cdot 3}{y\cdot 3} = -\frac{9}{3y},
\frac{2}{3} = \frac{2\cdot y}{3\cdot y} = \frac{2y}{3y}.

Passo 4

Somar as duas frações já com denominador comum:
-\frac{9}{3y} + \frac{2y}{3y} = \frac{-9 + 2y}{3y} = \frac{2y-9}{3y}.
Portanto os dois termos fracionários somados dão \dfrac{2y-9}{3y}.

Passo 5

Agora juntar isso com o termo x. Para somar x com uma fração precisamos escrever x com o mesmo denominador 3y. Fazemos:
x = \frac{x\cdot 3y}{3y} = \frac{3xy}{3y}.
Somando com \dfrac{2y-9}{3y} obtemos
\frac{3xy}{3y} + \frac{2y-9}{3y} = \frac{3xy + 2y - 9}{3y}.

Passo 6

Verificação de simplificação adicional: o numerador é 3xy + 2y - 9. Pode-se fatorar y dos dois primeiros termos:
3xy + 2y - 9 = y(3x+2) - 9.
Não há fator comum em todos os termos que permita cancelar com o denominador 3y sem conhecer um valor específico de y. Logo a forma \dfrac{3xy + 2y - 9}{3y} é a expressão combinada e simplificada (a menos que se saiba algo mais sobre y que permita simplificar).

Resposta

\dfrac{3xy+2y-9}{3y}

Exercícios relacionados