(1,0 ponto) Resolva as seguintes equações, se possível:
(c) x(x+1)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
x(x+1)=1.
Ou seja, encontrar todos os números reais x que satisfazem essa igualdade. Informação dada: a equação envolve um produto e, ao desenvolvê-la, resulta numa equação quadrática (grau 2).

Passo 2

Primeiro passo algébrico: expandir o produto para escrever a equação na forma polinomial padrão.
x(x+1)=1 \quad\Rightarrow\quad x^2+x=1.
Agora colocamos tudo no mesmo lado para obter a forma padrão de uma equação quadrática:
x^2+x-1=0.

Passo 3

Vou resolver essa equação usando o método de completar o quadrado (um jeito bem didático e que também leva à fórmula de Bhaskara). Para lembrar a ideia: dada uma equação do tipo
x^2+bx+c=0,
o número b é o coeficiente de x e c é o termo constante. A técnica é transformar x^2+bx em um quadrado perfeito somando e subtraindo um valor apropriado.
Aplicando aqui: partimos de
x^2+x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x^2+x=1.
Tomamos metade do coeficiente de x: metade de 1 é \tfrac{1}{2}. Em seguida, elevamos ao quadrado essa metade: \left(\tfrac{1}{2}\right)^2=\tfrac{1}{4}. Agora somamos esse valor dos dois lados da igualdade para formar o quadrado perfeito:
x^2+x+\tfrac{1}{4}=1+\tfrac{1}{4}.
O lado esquerdo é um quadrado perfeito:
\left(x+\tfrac{1}{2}\right)^2=\tfrac{5}{4}.

Passo 4

Agora extraímos a raiz quadrada de ambos os lados. Lembrando que ao extrair raiz quadrada devemos considerar os dois sinais, + e -:
x+\tfrac{1}{2}=\pm\sqrt{\tfrac{5}{4}}=\pm\tfrac{\sqrt{5}}{2}.
Isolando x,
x=-\tfrac{1}{2}\pm\tfrac{\sqrt{5}}{2}.
Podemos juntar as frações no numerador:
x=\tfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}.

Passo 5

Interpretação numérica (apenas para intuição — na prova a forma fracionária exata geralmente é preferida). Usando aproximação de \sqrt{5}\approx2,2360679:
x_1=\tfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\approx\tfrac{1,2360679}{2}\approx0,61803395,
x_2=\tfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\approx\tfrac{-3,2360679}{2}\approx-1,61803395.
Verificação rápida com aproximações: 0,61803395\cdot(0,61803395+1)\approx0,61803395\cdot1,61803395\approx1, idem para a outra raiz (produto também dá aproximadamente 1), mostrando consistência.

Passo 6

Resumo do método (dicas para a prova): transformar em x^2+bx+c=0, completar o quadrado somando \left(\tfrac{b}{2}\right)^2 aos dois lados, extrair raízes considerando o sinal \pm e isolar x. Alternativa: usar diretamente a fórmula de Bhaskara, que dá o mesmo resultado. Vai dar tudo certo — respira fundo e aplica esses passos com calma.

Resposta

x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}
x=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}

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