O enunciado nos dá duas sequências \{a_n\} e \{b_n\} e afirma que
\lim_{n\to\infty} a_n = L \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to\infty} b_n = M.
A pergunta é provar que
\lim_{n\to\infty} (a_n + b_n) = L + M.
Em outras palavras: a soma de sequências convergentes também converge, e o limite da soma é a soma dos limites.
Passo 2
Vou recordar a definição de convergência de sequência, porque ela é a chave da prova. Dizemos que \{a_n\} converge para L (escrevemos \lim_{n\to\infty} a_n = L) se, e somente se, para todo \epsilon>0 existe um N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
|a_n - L| < \epsilon.
Análogo para \{b_n\} convergindo para M: para todo \epsilon>0 existe N' tal que, para todo n\ge N',
|b_n - M| < \epsilon.
Passo 3
Um fato elementar que vamos usar é a desigualdade triangular: para quaisquer números reais x e y,
|x+y| \le |x| + |y|.
É simples e muito útil: o valor absoluto da soma não passa da soma dos valores absolutos.
Vamos fazer a prova formal usando um \epsilon>0 arbitrário. Quero mostrar que existe N tal que, para todo n\ge N,
\bigl|(a_n+b_n) - (L+M)\bigr| < \epsilon.
Como o lado direito da desigualdade do Passo 4 é a soma de duas quantidades, uma boa ideia é fazer cada uma menor que metade de \epsilon. Como \lim_{n\to\infty} a_n = L, existe N_1\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N_1,
|a_n - L| < \frac{\epsilon}{2}.
Como \lim_{n\to\infty} b_n = M, existe N_2\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N_2,
|b_n - M| < \frac{\epsilon}{2}.
Passo 6
Escolho
N = \max\{N_1,\,N_2\}.
Então, para qualquer n\ge N temos simultaneamente n\ge N_1 e n\ge N_2, logo
Isso mostra que para todo \epsilon>0 existe N tal que, para todo n\ge N, \bigl|(a_n+b_n)-(L+M)\bigr|<\epsilon. Pela definição de limite, segue que \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=L+M.
Passo 7
Breve interpretação intuitiva: cada sequência fica arbitrariamente próxima do seu limite para n grande; somando duas quantidades pequenas (diferenças em valor absoluto) obtemos outra quantidade pequena. Escolher \epsilon/2 é só uma forma prática de garantir que as duas partes somadas fiquem juntas abaixo de \epsilon. Se preferir, o mesmo raciocínio funciona dividindo \epsilon em qualquer par de números positivos cuja soma seja \epsilon.