(1,0 ponto)
(a) Defina sequência convergente de números reais (utilizando módulo, \varepsilon e N \in \mathbb{N} );
(b) Dê um exemplo de uma sequência \left(a_{n}\right) convergente tal que:
\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=3
Passo 1
O enunciado faz duas perguntas claras:
(a) Pedir a definição de sequência convergente de números reais, usando módulo, \varepsilon e N\in\mathbb{N}.
(b) Pedir um exemplo de sequência \left(a_{n}\right) convergente com
\lim_{n\to\infty} a_{n}=3.
Não há outros dados numéricos no enunciado; só precisamos fornecer a definição formal e um exemplo acompanhado da justificativa (prova) de que converge para 3.
Passo 2
Vou dar a definição formal (a parte que precisa do módulo, do \varepsilon e do N) e em seguida explicar detalhadamente o que cada símbolo significa.
Definição formal:
\lim_{n\to\infty} a_n = L \quad\Longleftrightarrow\quad \forall \varepsilon>0\;\exists N\in\mathbb{N}\;\text{ tal que }\;\forall n\ge N,\;|a_n-L|<\varepsilon.
Explicando cada peça:
(a_n) é a sequência de números reais: significa os termos a_1,a_2,a_3,\dots.
L é o número real que dizemos ser o limite (o valor para o qual os termos se aproximam).
\varepsilon (leia-se “épsilon”) representa uma tolerância positiva arbitrariamente pequena; \varepsilon>0 significa qualquer margem de erro desejada.
N\in\mathbb{N} é um índice natural que depende de \varepsilon. Ele diz a partir de qual termo todos os termos seguintes ficam dentro da tolerância.
|a_n-L| é o módulo (valor absoluto) da diferença entre o termo a_n e o limite L; medir distância em reta real.
A leitura lógica: "para todo \varepsilon>0 existe um N tal que, para todo n\ge N, a distância |a_n-L| é menor que \varepsilon". Ou seja, os termos da sequência ficam arbitrariamente próximos de L a partir de algum índice.
Passo 3
Interpretação prática e um pequeno truque que aparece muito em provas:
O quantificador "para todo \varepsilon>0" é o mais forte: quem faz a regra do jogo é o avaliador (ele escolhe quão pequena é a tolerância). Nossa tarefa é mostrar que, não importa a escolha dele, conseguimos encontrar um N apropriado.
Em demonstrações concretas você costuma calcular |a_n-L| em função de n, e então resolver desigualdade |a_n-L|<\varepsilon para n. O N será qualquer inteiro que satisfaça a condição obtida (por exemplo, N>\frac{1}{\varepsilon} ou N\ge \left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil, etc.).
Lembre-se: se você obtiver uma condição do tipo n\ge N implicando |a_n-L|<\varepsilon, isso é exatamente a prova de convergência segundo a definição.
Passo 4
Agora um exemplo simples e muito usado: proponho a sequência
a_n = 3 + \frac{1}{n},\qquad n=1,2,3,\dots
Intuição: \tfrac{1}{n} tende a 0, então a_n deve tender a 3.
Mostramos isso com a definição \varepsilon-N.
Passo 5
Prova detalhada de que \lim_{n\to\infty} a_n = 3 para a sequência a_n=3+\dfrac{1}{n}.
Seja agora um \varepsilon>0 qualquer. Queremos um N\in\mathbb{N} tal que para todo n\ge N valha |a_n-3|<\varepsilon.
Observação: para n\ge N temos \dfrac{1}{n}\le \dfrac{1}{N}. Então é suficiente garantir \dfrac{1}{N}<\varepsilon. Portanto escolhemos um N\in\mathbb{N} que satisfaça
N>\frac{1}{\varepsilon}.
Tal N existe porque os números naturais são arbitrariamente grandes (ou, se preferir uma escolha explícita, pode tomar N=\left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil+1).
Com esse N, para todo n\ge N temos
|a_n-3|=\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}<\varepsilon,
o que é exatamente a condição da definição. Logo \lim_{n\to\infty} a_n = 3.
Passo 6
Resumo prático e dicas rápidas para a prova:
Sempre comece calculando |a_n-L| e tente tornar essa expressão mais simples (como fizemos: virou 1/n).
Depois resolva |a_n-L|<\varepsilon em termos de n para achar uma condição do tipo n\ge N(\varepsilon).
Se aparecerem desigualdades do tipo 1/n<\varepsilon, a escolha natural é N>\frac{1}{\varepsilon} (ou usar teto).
Exemplos alternativos que também funcionam: \displaystyle a_n=3+\frac{(-1)^n}{n} (a oscilação desaparece porque 1/n\to0) ou \displaystyle a_n=3+\frac{1}{n^2}. Todos esses têm limite 3; a prova segue o mesmo esquema.
Força aí — com esse método você faz qualquer prova de convergência básica no exame.
Resposta
(a) \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = L \iff \forall \varepsilon>0\;\exists N\in\mathbb{N}\;\text{ tal que }\;\forall n\ge N,\;|a_n-L|<\varepsilon.
(b) Um exemplo: \displaystyle a_n=3+\frac{1}{n}, que satisfaz \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n=3.