3́ Questāo: Um estudante mede o comprimento de uma barra de latao com uma fita métrica de aço a 20^{\circ} \mathrm{C}. A leitura é 65,00 \mathrm{~cm}. O que a ta vai indicar para o comprimento da barra quando ambas estiverem a (a) -15^{\circ} \mathrm{C} e (b) +55^{\circ} \mathrm{C} ? Utilize o coeficiente linear de expansão termica \alpha_{a c o}= 11 \times 10^{-6}\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)^{-1} e \alpha_{\text {latao }}=19 \times 10^{-6}\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)^{-1} 1.

Passo 1

O enunciado diz que uma barra de latão e uma fita métrica de aço são medidas inicialmente a 20^\circ\mathrm{C} com leitura 65,00,cm. Queremos saber o que a fita vai indicar quando ambas estiverem a (a) -15^\circ\mathrm{C} e (b) +55^\circ\mathrm{C}. O conteúdo usado é expansão linear térmica: se um comprimento inicial L_0 sofre mudança de temperatura \Delta T, seu novo comprimento é
L = L_0\bigl(1 + \alpha\,\Delta T\bigr).
Aqui, porém, a leitura indicada é
L_{\text{lida}} = \frac{L_{\text{barra}}}{\text{tamanho real de 1\,cm na fita}} = \frac{L_0\bigl(1+\alpha_{\text{latão}}\Delta T\bigr)}{1+\alpha_{\text{aço}}\Delta T}.ãç

Passo 2

Definimos
\Delta T = T - 20^\circ\mathrm{C},
\alpha_{\text{aço}}=11\times10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}ç e
\alpha_{\text{latão}}=19\times10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}ã.
A fórmula da leitura torna-se
L_{\text{lida}}(T) =65{,}00\;\frac{1+\alpha_{\text{latão}}(T-20)}{1+\alpha_{\text{aço}}(T-20)}.ãç

Passo 3

Caso (a): T=-15^\circ\mathrm{C} então \Delta T=-35^\circ\mathrm{C}.
Calculemos os fatores:
1+\alpha_{\text{latão}}\,\Delta T =1+19\times10^{-6}\times(-35)=0{,}999335,ã
1+\alpha_{\text{aço}}\,\Delta T =1+11\times10^{-6}\times(-35)=0{,}999615.ç
Logo
L_{\text{lida}}(-15^\circ\mathrm{C}) =65{,}00\;\frac{0{,}999335}{0{,}999615}\approx65{,}00\times0{,}99972 \approx64{,}982\text{ cm}.

Passo 4

Caso (b): T=55^\circ\mathrm{C} então \Delta T=35^\circ\mathrm{C}.
Calculemos os fatores:
1+\alpha_{\text{latão}}\,\Delta T =1+19\times10^{-6}\times35=1{,}000665,ã
1+\alpha_{\text{aço}}\,\Delta T =1+11\times10^{-6}\times35=1{,}000385.ç
Logo
L_{\text{lida}}(55^\circ\mathrm{C}) =65{,}00\;\frac{1{,}000665}{1{,}000385}\approx65{,}00\times1{,}00028 \approx65{,}018\text{ cm}.

Resposta

(a) 64{,}982,cm
(b) 65{,}018,cm

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