( \mathbf{6} pontos) Uma pesquisa realizada em uma pequena cidade investigou as principais fontes de informação dos seus habitantes. Os resultados revelaram que:
i) 43 \% afirmaram que sites de notícias (evento S ) são sua principal fonte de informações;
ii) 40 \% afirmaram que canais de televisão (evento T ) são sua principal fonte de informações;
iii) 17 \% afirmaram que programas de rádio (evento R ) são sua principal fonte de informações.
Além disso, sabe-se que a distribuição condicional do conteúdo consumido nessas fontes de informação inclui a presença de publicidade (evento A ), conforme abaixo:
  • 30 \% do conteúdo consumido em sites de notícias é relacionado a publicidade;
  • 22,5 \% do conteúdo assistido em canais de televisão é relacionado a publicidade;
  • 28 \% do conteúdo ouvido em programas de rádio é relacionado a publicidade.
Suponha que um indivíduo seja escolhido aleatoriamente dessa população. Com base nas informações fornecidas, determine as seguintes probabilidades:
a) ( 3 pt) Monte o diagrama de árvores considerando os eventos S, T, R e A definidos acima e informe as probabilidades em cada ramificação do mesmo.
b) ( \mathbf{3} pt) Sabendo-se que o indivíduo teve contato com publicidade, qual a probabilidade de que sua principal fonte de notícias seja os canais de televisão?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Montar o diagrama de árvore considerando os eventos S, T, R (fonte principal) e A (contato com publicidade) e informar as probabilidades em cada ramificação.
  2. Calcular a probabilidade condicional de que a principal fonte seja T sabendo que houve contato com publicidade, isto é, P(T\mid A).
Informações fornecidas (vou listar exatamente os números que o enunciado deu):
P(S)=0,43,\quad P(T)=0,40,\quad P(R)=0,17.
As probabilidades condicionais de publicidade dentro de cada fonte são:
P(A\mid S)=0,30,\quad P(A\mid T)=0,225,\quad P(A\mid R)=0,28.
Daqui podemos também deduzir as probabilidades complementares (não-publicidade) em cada fonte:
P(A^c\mid S)=0,70,\quad P(A^c\mid T)=0,775,\quad P(A^c\mid R)=0,72.

Passo 2

Vou montar a árvore mentalmente e calcular as probabilidades em cada ramificação (instrução passo a passo para montar um diagrama de árvore):
  • Primeiro nível (raiz → fontes): ramos para S, T, R com probabilidades P(S), P(T), P(R).
  • Segundo nível (cada fonte → publicidade A ou não A^c): em cada ramo usar a probabilidade condicional P(A\mid \text{fonte}) e P(A^c\mid \text{fonte}).
Regra usada para obter probabilidades em ramificações finais (é importante entender isto para a prova): se você tem um ramo com probabilidade P(\text{fonte}) e nele um sub-ramo com probabilidade condicional P(A\mid\text{fonte}), a probabilidade conjunta daquele caminho é
P(\text{fonte}\cap A)=P(\text{fonte})\cdot P(A\mid\text{fonte}).
Isto é apenas a definição da probabilidade conjunta em termos de probabilidade condicional.

Passo 3

Calcular as probabilidades conjuntas (cada ramo até a folha) usando a fórmula do passo anterior:
Para S:
P(S\cap A)=P(S)\cdot P(A\mid S)=0,43\cdot 0,30=0,129.
P(S\cap A^c)=P(S)\cdot P(A^c\mid S)=0,43\cdot 0,70=0,301.
Para T:
P(T\cap A)=P(T)\cdot P(A\mid T)=0,40\cdot 0,225=0,09.
P(T\cap A^c)=P(T)\cdot P(A^c\mid T)=0,40\cdot 0,775=0,31.
Para R:
P(R\cap A)=P(R)\cdot P(A\mid R)=0,17\cdot 0,28=0,0476.
P(R\cap A^c)=P(R)\cdot P(A^c\mid R)=0,17\cdot 0,72=0,1224.
Esses seis números correspondem às probabilidades em cada folha da árvore (três folhas com A e três com A^c).

Passo 4

Verificação rápida: as probabilidades de todas as folhas devem somar 1. Vamos checar:
0,129+0,301+0,09+0,31+0,0476+0,1224 = 1,00.
Isso confirma que os cálculos das ramificações estão consistentes (bom sinal!).

Passo 5

Para responder a (b) precisamos da probabilidade condicional P(T\mid A). Use o Teorema de Bayes (fórmula básica de probabilidade condicional aplicada a particionamento):
P(T\mid A)=\frac{P(T\cap A)}{P(A)}.
Aqui P(T\cap A) já calculamos no passo 3. O denominador P(A) é a probabilidade total de A, obtida somando as probabilidades conjuntas de A ao longo da partição S,T,R:
P(A)=P(S\cap A)+P(T\cap A)+P(R\cap A).

Passo 6

Calcular P(A) explicitamente:
P(A)=0,129+0,09+0,0476=0,2666.
Agora aplicar Bayes:
P(T\mid A)=\frac{0,09}{0,2666}=\frac{450}{1333}\approx 0,3376.
Convertendo para porcentagem:
P(T\mid A)\approx 33,76\%.
Interpretação rápida (útil para a prova): entre as pessoas que tiveram contato com publicidade, cerca de 33,8\% tinham como principal fonte os canais de televisão.

Resposta

a) Ramos e probabilidades: P(S)=0,43;\;P(S\cap A)=0,129;\;P(S\cap A^c)=0,301;\;P(T)=0,40;\;P(T\cap A)=0,09;\;P(T\cap A^c)=0,31;\;P(R)=0,17;\;P(R\cap A)=0,0476;\;P(R\cap A^c)=0,1224.\n
b) P(T\mid A)=\dfrac{0,09}{0,2666}=\dfrac{450}{1333}\approx 0,3376\approx 33,76\%.

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