(
pontos) Uma pesquisa realizada em uma pequena cidade investigou as principais fontes de informação dos seus habitantes. Os resultados revelaram que:
i)
afirmaram que sites de notícias (evento
) são sua principal fonte de informações;
ii)
afirmaram que canais de televisão (evento
) são sua principal fonte de informações;
iii)
afirmaram que programas de rádio (evento
) são sua principal fonte de informações.
Além disso, sabe-se que a distribuição condicional do conteúdo consumido nessas fontes de informação inclui a presença de publicidade (evento
), conforme abaixo:
-
do conteúdo consumido em sites de notícias é relacionado a publicidade;
-
do conteúdo assistido em canais de televisão é relacionado a publicidade;
-
do conteúdo ouvido em programas de rádio é relacionado a publicidade.
Suponha que um indivíduo seja escolhido aleatoriamente dessa população. Com base nas informações fornecidas, determine as seguintes probabilidades:
a) ( 3 pt) Monte o diagrama de árvores considerando os eventos
e
definidos acima e informe as probabilidades em cada ramificação do mesmo.
b) (
pt) Sabendo-se que o indivíduo teve contato com publicidade, qual a probabilidade de que sua principal fonte de notícias seja os canais de televisão?
i)
ii)
iii)
a) ( 3 pt) Monte o diagrama de árvores considerando os eventos
b) (
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Montar o diagrama de árvore considerando os eventos
, , (fonte principal) e (contato com publicidade) e informar as probabilidades em cada ramificação. - Calcular a probabilidade condicional de que a principal fonte seja
sabendo que houve contato com publicidade, isto é, .
Informações fornecidas (vou listar exatamente os números que o enunciado deu):
As probabilidades condicionais de publicidade dentro de cada fonte são:
Daqui podemos também deduzir as probabilidades complementares (não-publicidade) em cada fonte:
Passo 2
Vou montar a árvore mentalmente e calcular as probabilidades em cada ramificação (instrução passo a passo para montar um diagrama de árvore):
- Primeiro nível (raiz → fontes): ramos para
, , com probabilidades , , . - Segundo nível (cada fonte → publicidade
ou não ): em cada ramo usar a probabilidade condicional e .
Regra usada para obter probabilidades em ramificações finais (é importante entender isto para a prova): se você tem um ramo com probabilidade
e nele um sub-ramo com probabilidade condicional
, a probabilidade conjunta daquele caminho é
Isto é apenas a definição da probabilidade conjunta em termos de probabilidade condicional.
Passo 3
Calcular as probabilidades conjuntas (cada ramo até a folha) usando a fórmula do passo anterior:
Para
:
Para
:
Para
:
Esses seis números correspondem às probabilidades em cada folha da árvore (três folhas com
e três com
).
Passo 4
Verificação rápida: as probabilidades de todas as folhas devem somar
. Vamos checar:
Isso confirma que os cálculos das ramificações estão consistentes (bom sinal!).
Passo 5
Para responder a (b) precisamos da probabilidade condicional
. Use o Teorema de Bayes (fórmula básica de probabilidade condicional aplicada a particionamento):
Aqui
já calculamos no passo 3. O denominador
é a probabilidade total de
, obtida somando as probabilidades conjuntas de
ao longo da partição
:
Passo 6
Calcular
explicitamente:
Agora aplicar Bayes:
Convertendo para porcentagem:
Interpretação rápida (útil para a prova): entre as pessoas que tiveram contato com publicidade, cerca de
tinham como principal fonte os canais de televisão.
Resposta
a) Ramos e probabilidades:
.\n
b) .
b)